2D normal dağılım yarıçapının örnekleme dağılımı

Ortalama ile iki değişkenli normal dağılım ve kovaryans matrisi olabilir kutupsal koordinatlarda yazılı yeniden yarıçapı ile ve açı . Sorum şu: örnek dağılımı nedir bir noktaya gelen mesafenin olduğu, tahmin merkezi için örnek kovaryans matrisi verilmiş ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Arka plan: gerçek mesafe bir noktadan anlamına bir şu Hoyt dağılımı . Özdeğerler / ve ile şekil parametresi $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ ve ölçek parametresi $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$ . Kümülatif dağılım fonksiyonunun, iki Marcum Q fonksiyonu arasındaki simetrik fark olduğu bilinmektedir.

Simülasyon, ve için $\bar{x}$ ve tahminlerinin takılmasının büyük numuneler için çalıştığını, ancak küçük numuneler için çalışmadığını göstermektedir. Aşağıdaki şema 200 kere sonuçları göstermektedir $S$ $\mu$ $\Sigma$

verilen $q$ ( $x$ ekseni), $\omega$ (satır) ve kantil (sütunlar) her kombinasyonu için 20 2B normal vektör simülasyonu
Her numune için, gözlenen yarıçap verilen quantile hesaplama için $\hat{r}$ $\bar{x}$
her numune için, teorik Hoyt (2D normal) ve teorik Rayleigh $\bar{x}$ ve örnek tahminlerini sonra miktarının hesaplanması $S$ .

resim açıklamasını buraya girin

Şöyle (dağıtım dairesel olur) 1 yaklaşımlar, tahmini Hoyt kantilleri etkilenmeyen tahmin Rayleigh miktarlarını yaklaşım . Gibi özellikle dağılımının kuyruk ampirik quantiles ve tahmini olanlar arttıkça arasındaki farkı büyür. $q$ $q$ $\omega$

— karakulak
kaynak

Soru nedir?

— John

@John sorusunu vurgulanan: "[yarıçapı] örnek dağılımı ne

bir noktaya olan mesafeye, bir,

yaklaşık merkezine

verilen örnek convariance matris

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

Neden

aksine

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— BazıEE

@MathEE

çünkü ben (doğru) dağılımı ile ilgilidir biliyor literatür

, değil (doğru)

. Bunun, bu soruda tartışılan Mahalanobis mesafesindeki durumdan farklı olduğunu unutmayın . Tabii ki, dağıtımı için sonuçlar

çok hoş olurdu.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

Gönderinizde belirttiğiniz gibi verilirse tahminin dağılımını biliyoruz, bu nedenle gerçek tahminin tahmininin dağılımını biliyoruz . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

dağılımını bulmak istiyoruzburadasütun vektörleri olarak ifade edilir.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} (x_{ben} - \bar{x})^{T} (x_{ben} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Şimdi standart numarayı yapıyoruz

buradadenklem

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} (x_{ben} - μ)^{T} (x_{ben} - μ) \\ = & \frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} (x_{ben} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{ben} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} (x_{ben} - \bar{x})^{T} (x_{ben} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

ve devri.

\frac{1}{N-} Σ_{ben = 1}^{N-} (x_{ben} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Bu Uyarı örnek kovaryans matrisinin izidir ve yalnızca örnek bağlıdır ortalama . Böylece $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ iki bağımsız rastgele değişkenin toplamıdır.

dağılımlarını biliyoruz ve bu nedenle karakteristik fonksiyonların çarpımsal olduğu standart numara üzerinden yapılıyor.

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Eklemek için düzenlendi:

Hoyt yani pdf $||x_i-\mu||$ burada,birinci türünmodifiye Bessel fonksiyonudur.

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} {ben}_{Ö} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

Bu pdf , $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} {ben}_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - {bir}^{2}}} & (s - b) > bir \\ 0 & Başka \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N-}}{((s / N- - b)^{2} - {bir}^{2})^{N- / 2}} & (s / N- - b) > bir \\ 0 & Başka \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N- c}{\sqrt{(s - N- b)^{2} - (N- bir)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

Bu, moment üretme fonksiyonunun anlamına gelir. $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N- - 1}}{((s / N- - b)^{2} - {bir}^{2})^{(N- - 1) / 2}} & (s / N- - b) > bir \\ 0 & Başka . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N- c^{N- - 1}}{Γ (\frac{N- - 1}{2})} {(\frac{2 ben bir}{N- ρ})}^{(2 - N-) / 2} e^{b N- ρ} J_{N- / 2 - 1} (ben bir N- ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
kaynak

Teşekkür ederim! Kabul etmeden önce ayrıntıları incelemem gerekecek.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

Tam bir cevaba cevabımı düzenledim. Kabul ederseniz lütfen bana bildirin.

— SomeEE

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$