R'de pozitif kararlı dağılım

Pozitif kararlı dağılımlar dört parametre ile tanımlanır: de eğri parametresi ölçek parametresi , konum parametresi ve benzeri -called dizin parametresi . sıfır olduğunda dağılım etrafında simetriktir , pozitif (sırasıyla negatif) olduğunda dağılım sağa (soldan sağa) eğrilir Kararlı dağılımlar, azaldığında yağ kuyruklarına izin verir .$\beta\in[-1,1]$$\sigma>0$$\mu\in(-\infty,\infty)$$\alpha\in(0,2]$$\beta$$\mu$$\alpha$

Tüm kesinlikle daha az bir ve daha dağıtım kısıtlar destek .$\alpha$$\beta=1$$(\mu,\infty)$

Yoğunluk işlevi, parametreler için belirli değer kombinasyonları için yalnızca kapalı biçimli bir ifadeye sahiptir. Tüm , , ve da (formül (4.4) 'dir burada ):$\mu=0$$\alpha<1$$\beta=1$$\sigma=\alpha$

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

Sonsuz ortalama ve varyansa sahiptir.

Soru

R'de bu yoğunluğu kullanmak istiyorum.

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

burada dstable işlevi fBasics paketi ile birlikte gelir.

Bunun R cinsinden yoğunluğu hesaplamanın doğru yolu olduğunu doğrulayabilir misiniz?

Şimdiden teşekkür ederim!

DÜZENLE

Şüpheli olmamın bir nedeni, çıktıda delta değerinin girdideki değerden farklı olmasıdır. Misal:

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

Kısa cevap, iyi olması, ancak yanlış olmasıdır. Formülünüz tarafından R'de verilen pozitif kararlı dağılımı elde etmek için $\delta$$\gamma$

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

Verdiğin formüle ilişkin en eski örnek (Feller, 1971) idi, ama bu kitabı sadece fiziksel formda buldum. Ancak (Hougaard, 1986) Laplace dönüşümü Gönderen kılavuzda ( kullanılan ), parameterization (Samorodnitsky ve Taqqu, 1994), kimin çevrimiçi üreme beni eluded başka bir kaynak değil. Ancak (Weron, 2001) Samorodnitsky ve Taqqu'in için parametreleştirilmesinde karakteristik işlevi vermektedir.

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ stablediststabledistfBasicspm=1$\alpha \neq 1$ $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ Kullandığımız gösterim ile Weron'un kâğıdından madeni paraya bazı parametreleri yeniden adlandırdım. için ve için kullanır . Her durumda, ve , $\mu$$\delta$$\sigma$$\gamma$$\beta=1$$\delta=0$ $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

Not bu için ve . Resmi olarak , yani içerisinde elde ederiz Dikkat edilmesi gereken ilginç bir nokta, karşılık gelen da , bu nedenle veya$(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$$\alpha \in (0, 1)$$i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$$\varphi(t)$

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ $\gamma$$\alpha=1/2$$1/2$$\gamma=\alpha$$\gamma=1-\alpha$aslında kötü bir yaklaşım değildir, 1/2 için tam olarak doğru sonuç verirsiniz .$\alpha=1/2$

Doğruluğu kontrol etmek için R'de bir örnek:

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. Feller, W. (1971). Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları , 2 , 2. baskı. New York: Wiley.
2. Hougaard, P. (1986). Kararlı Dağılımlardan Kaynaklanan Heterojen Popülasyonlar için Yaşam Modelleri , Biometrika 73 , 387-396.
3. Samorodnitsky, G., Taqqu, MS (1994). Kararlı Gauss Olmayan Rasgele Süreçler , Chapman & Hall, New York, 1994.
4. Weron, R. (2001). Levy-kararlı dağılımları yeniden ziyaret edildi: kuyruk indeksi> 2, Levy-kararlı rejimi dışlamaz , Uluslararası Modern Fizik Dergisi C, 2001, 12 (2), 209-223.

Ben ne olduğunu düşünüyorum deltagirişte bir deltakayma tarif ederken, bir iç konum değeri rapor olabilir . [ gammaNe zaman benzer bir sorun var gibi görünüyor pm=2.] Yani eğer 2'ye geçmeyi denerseniz

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

konum değerine 2 eklersiniz.

İle beta=1ve pm=1dağıtım alt sınırı 0'da olan pozitif bir rastgele değişkeniniz var.

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

Vardiya 2 ve alt sınır aynı miktarda artar

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

Ancak deltagirdinin kaydırma veya alt sınırdan ziyade dahili konum değeri olmasını istiyorsanız, parametreler için farklı bir özellik kullanmanız gerekir. Örneğin, aşağıdakileri denerseniz ( pm=3ve denerken delta=0ve delta=0.290617daha önce bulduğunuzda), aynısını içeri deltave dışarı alırsınız . İle pm=3ve delta=0.290617daha önce bulduğunuz 0.02700602 ile aynı yoğunluğu ve 0'da bir alt sınır elde edersiniz. İle pm=3ve delta=0negatif bir alt sınır elde edersiniz (aslında -0.290617).

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

deltaÇıktıda görmezden gelmeyi daha kolay bulabilirsiniz ve girişte araçları beta=1kullanmaya devam ettiğiniz sürece , dağıtımda alt sınır bulunur, bu da 0 olmak istediğiniz gibi görünür.pm=1delta

Ayrıca dikkat: Martin Maechler, kararlı dağıtılmış kodunu yeniden düzenledi ve bazı iyileştirmeler ekledi.

Yeni paket stabledisti fBasics tarafından da kullanılacak, bu yüzden buna da bir göz atmak isteyebilirsiniz.