İlişkisiz fakat bağımsız ve olmayan basit örnekler

Çalışkan olan herhangi bir öğrenci, "tüm öğrenciler tembeldir" in karşı örneklerinden biridir.

Bazı basit karşı örnekler nelerdir? "Eğer ve rastgele değişkenleri birbiri ile ilişkili değilse o zaman bağımsızdır"?$X$$Y$

Let .$X\sim U(-1,1)$

Let .$Y=X^2$

Değişkenler ilişkisiz ancak bağımlıdır.

Alternatif olarak, olasılık, sırasıyla 1/4, 1/2, 1/4 olasılıkla 3 noktada (-1,1), (0, -1), (1,1) olasılıktan oluşan ayrı bir iki değişkenli dağılımı düşünün. O zaman değişkenler birbiriyle ilişkilendirilmez ancak bağımlıdır.

İki değişkenli verileri bir pırlantata tek tip düşünün (45 derece döndürülmüş kare). Değişkenler ilişkisiz ancak bağımlı olacaktır.

Bunlar aklıma gelen en basit davalar.

Basit karşıt örneklere bazı özü sürekli rastgele değişken ile başlanarak görülebilir düşünmek , sıfır merkezli yani E [ X ] = 0 . Pdf varsayalım X düz ve formun bir aralık ile tanımlanır ( - bir , bir ) , bir > 0 . Şimdi varsayalım Y = f ( x ) bir fonksiyonu f . Tür fonksiyonların ne için: Şimdi soru sormak f ( X ) biz olabilir $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

olduğunu biliyoruz . Bizim varsayımı D [ X ] = 0 , düz veya açar bize C o v ( x , f ( x ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Pdf gösteren X ile p ( ⋅ ) Elimizdeki$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Biz isteyen ve bunu elde etmenin bir yolu sağlayarak bir f ( x ) ifade eder, bir çift işlev, bir x f ( x ) p ( X ) olan bir tek fonksiyonu. Daha sonra ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 olur ve böylece C $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$.$Cov(X,f(X))=0$

Bu şekilde, kesin dağılımının , pdf'nin bir nokta etrafında simetrik olması ve f ( ⋅ ) ' nin Y'yi tanımlamak için herhangi bir eşit fonksiyonun yapacağı gibi önemsiz olduğunu görebiliriz.$X$$f(\cdot)$$Y$ .

Umarım, bu, öğrencilerin bu tür karşı örneklerle nasıl karşılaştıklarını görmelerine yardımcı olabilir.

Karşı örnek olun (yani çalışkan öğrenci)! Bu sözü edilen:

Gerçek bir dünya örneği düşünmeye çalışıyordum ve aklıma ilk gelen buydu. Bu matematiksel olarak en basit durum olmayacak (ancak bu örneği anlarsanız, çimler ve toplarla ilgili daha basit bir örnek bulmanız gerekir).

Bazı araştırmalara göre, erkek ve kadınların ortalama IQ değeri aynıdır, ancak erkek IQ'nin varyansı, kadın IQ'nun varyansından daha büyüktür. Beton için, erkek IQ’nun takip ettiğini ve dişi IQ’nun α < 1 ile N ( 100 , α σ 2 ) yi takip ettiğini $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$ . Nüfusun yarısı erkek, nüfusun yarısı kadındır.

Bu araştırmanın doğru olduğunu varsayarak:

Cinsiyet ve IQ arasındaki ilişki nedir?

Cinsiyet ve IQ bağımsız mı?

Bir kesikli rastgele değişken tanımlayabilir ile P ( X = - 1 ) = P ( x = 0 ) = P ( x = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

ve sonra $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

ve Y'nin ilişkisiz olduğu, ancak bağımsız olmadığı kolayca anlaşılabilir .$X$$Y$

Bunu dene (R kodu):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Bu, x 2 + y 2 - r 2 = 0 dairelerinin denklemindendir$x^2+y^2-r^2=0$

, x ile ilişkili değildir, ancak işlevsel olarak bağımlıdır (deterministik). $Y$$x$

Korelasyon eksikliğinin bağımsızlık anlamına geldiği tek genel durum, X ve Y'nin ortak dağılımının Gaussian olduğu durumdur.

İki cümle cevabı: ilişkisiz istatistiksel bağımlılığın en açık örneği, RV'nin doğrusal olmayan bir fonksiyonudur, Y = X ^ n diyelim. İki RV açıkça bağımlıdır, fakat henüz korelasyonlu değildir, çünkü korelasyon doğrusal bir ilişkidir.