Neden ( sansürlendi)

Bir problem setinde sonucu bana sezgisel olmayan bu "lemmayı" kanıtladım. , sansürlü bir modelde standart normal dağılımdır. $Z$

Resmi olarak, ve . Ardından, Dolayısıyla, kesik bir etki alanı üzerindeki beklenti formülü ile kesme noktasındaki yoğunluk arasında bir tür bağlantı vardır . Bunun arkasındaki sezgiyi açıklayan var mı? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
kaynak

Bu şekilde ortaya çıkması, teriminin üs içindeki terimin türevinin negatif olması olmasının bir sonucudur ; standart normal için birçok düzgün sonuçtan biridir, ancak arkasında sezgi olması gerekmez. Öte yandan, buradaki akıllı insanlardan biri bunun için bir tür sezgi ortaya çıkarsa beni hiç şaşırtmayacaktı.

z

$z$

— Glen_b

@Glen_b Söylediğiniz şey burada PDF olan bir sürekli dağılım

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Bu kesinlikle doğru ve bu sonucu vurgulamakta fayda var, çünkü sorudaki sonuçla doğrudan alakalı, ama aslında benim yorumumda özellikle bu terimlerin ilkinin (" beklenti formülü "

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— sorusuydu

(en azından bu koşullu beklentiyle ilgili bariz çarpım sabitine kadar). Bununla birlikte, o belirli için muhtemelen bir cevapta tartışmaya değer.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b

Son düzenlemeniz yanlış bir ifadenin kanıtını (veya sezgisel bir açıklamasını) ister. Koşullu yoğunluğu koşuluyla olan ve koşullu beklenen değer Düzeltilmiş başlığınızdakiler değil .

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

Analizin Temel Teoremi sizin için sezgi olarak işe yarar mı?

Let ifade yoğunluk fonksiyonu standart normal rasgele değişkenin. Ardından, türev . Analizin Temel Teoremi bize burada yerine ve ve üçüncüsü olduğunu belirterek . Alternatif olarak, ikinci integrali ile arasındaki integral olarak yazın $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ artı ile arasındaki integral ve ile arasındaki tek bir işlevin entegre edilmesinin sonuçlandığına dikkat edin .

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
kaynak