Diferansiyel geometrinin istatistiklerle ilgisi var mı?

İstatistikte ustalaşıyorum ve diferansiyel geometriyi öğrenmem tavsiye ediliyor. Bu beni motive edecek çünkü diferansiyel geometri için istatistiksel uygulamaları duymaktan mutluluk duyacağım. İstatistikte diferansiyel geometri uygulamalarını bilen var mı?

Konuyla ilgili iki kanonik kitap, incelemelerle, daha sonra diğer iki referansla:

• Diferansiyel Geometri ve İstatistik , MK Murray, JW Rice

  Rao tarafından 1945'te olasılık dağılımları ailesi hakkında Fisher bilgi metriğinin tanıtılmasından bu yana istatistiklere diferansiyel geometrinin uygulanması konusunda istatistikçiler arasında ilgi vardır. Bu ilgi son birkaç on yılda çok sayıda araştırmacının çalışmasıyla hızla artmıştır. Şimdiye kadar bu fikirlerin daha geniş bir istatistikçi topluluğa yayılması için bir engel, istatistikçilere erişilebilir bir şekilde diferansiyel geometriye modern koordinat özgür yaklaşımını tanıtan uygun bir metnin olmamasıdır. Bu kitap bu boşluğu doldurmayı amaçlıyor. Yazarlar kitaba diferansiyel geometride kapsamlı araştırma deneyimi ve istatistiklere uygulanması getirmektedir. Kitap, en basit diferansiyel manifoldların incelenmesiyle başlar - afin uzaylar ve üstel ailelere olan ilgileri ve genel teori, Fisher bilgi metriği, Amari bağlantısı ve asimptotiklere geçer. Vektör demetleri, prensip demetleri ve jetler teorisi ve bunların dizeler teorisine uygulanmasıyla sonuçlanmaktadır - şu anda istatistik ve diferansiyel geometride araştırmaların en ileri noktasında bir konu.

• Bilgi Geometrisi Yöntemleri , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  Bilgi geometrisi, matematik bilimlerine yeni bir analiz çerçevesi sağlar. Fisher bilgisi tarafından tanımlanan bir Riemann metriğinden ve bağlantıları adı verilen tek parametreli bir afin bağlantı ailesinden oluşan olasılık dağılımlarının manifoldları üzerindeki doğal diferansiyel geometrik yapının araştırılmasından ortaya çıkmıştır . Α- bağlantısı ve ( - α ) arasındaki ikilik$\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-metrik ile bağlantı bu geometride önemli bir rol oynamaktadır. Olasılık dağılımlarının manifoldlarından ortaya çıkan bu tür bir ikilik, olasılık teorisiyle açık bir ilişkisi olmayan çeşitli problemlerde ortaya çıkmaktadır. Dualite sayesinde, çeşitli temel problemleri birleşik bir bakış açısıyla analiz etmek mümkündür. Bu kitabın ilk yarısı, diferansiyel geometrinin ilkleri, manifoldların geometrisi veya olasılık dağılımları ve çift afin bağlantıların genel teorisi dahil olmak üzere bilgi geometrisinin matematiksel temeline kapsamlı bir girişe ayrılmıştır. Metnin ikinci yarısı istatistik, doğrusal sistemler, bilgi teorisi, kuantum mekaniği, dışbükey analiz, sinir ağları, ve afin diferansiyel geometrisi. Kitap ileri lisans ve lisansüstü öğrencileri için bir konu dersi için uygun bir metin olarak hizmet verebilir.

• İstatistiksel çıkarımda diferansiyel geometri , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen ve CR Rao, IMS Ders Notları Monogr. Ser. Cilt 10, 1987, 240 s.

• İstatistiksel Teoride Diferansiyel Geometrinin Rolü , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox ve N. Reid, Uluslararası İstatistiksel İnceleme / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, No. 1 (Nisan, 1986), sayfa 83-96

Riemann geometrisi, sürecin sabit olması gerekmeyen rastgele alanların (stokastik süreçlerin genelleştirilmesi) incelenmesinde kullanılır . Çalıştığım referans aşağıda iki yorumla verilmiştir. Oşinografi, astrofizik ve beyin görüntülemede uygulamalar vardır.

Rasgele Alanlar ve Geometri , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

yorumlar:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$Riemann tabakalı manifoldlardır ve yaklaşımları geometrik niteliktedir. Kitap üç bölüme ayrılmıştır. Bölüm I Gauss süreçleri ve alanlarının gerekli araçlarının sunumuna ayrılmıştır. Bölüm II, integral ve diferansiyel geometrinin gerekli önkoşullarını kısaca ortaya koymaktadır. Son olarak, bölüm III'te, bir gezi setinin Euler karakteristik fonksiyonunun beklentisi ve alanın maksimumlarının dağılımına yaklaşımı için bir formül olan kitabın çekirdeği kesin olarak belirlenmiştir. Kitap gayri resmi bir tarzda yazılmıştır, bu da çok hoş bir okuma sağlar. Her bölüm, ele alınması gereken konuların bir sunumu ile başlar ve metin boyunca yer alan dipnotlar vazgeçilmez bir tamamlayıcı ve çoğu zaman tarihsel referans olarak hizmet eder.

"Bu kitap, modern gezi olasılıkları teorisini ve manifoldlar üzerinde tanımlanan rastgele alanlar için gezi setlerinin geometrisini sunuyor. ... Kitap, analiz için iyi bir geçmişe sahip öğrenciler için anlaşılabilir. ... , sunulan matematiksel teorinin güzelliği ve derinliği onu her matematiksel kütüphanenin vazgeçilmez bir parçası ve Gauss süreçleri, rastgele alanlar ve istatistiksel uygulamaları ile ilgilenen tüm olasılıkların kitap rafı haline getiriyor. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Cilt 1149, 2008)

İstatistiklerin bir alan / diferansiyel geometri temel bir şekilde kullanılır uygulamalı matematik (birlikte bir çok matematik diğer alanlarda!) 'Dir desen teorisi . Ulf Grenander'ın kitaba bakabilirsiniz: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 veya biraz daha erişilebilir metin David Mumford (bir alan madalya kazananı daha az değil): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_w_ = LIesY ve PSC = 1 ve refrid = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Son metnin önsözünden:

“Desen teorisi” terimi, dünyadaki desenli yapıların analizine yaklaşımını “örüntü tanıma” dan ayırmak için Ulf Grenander tarafından icat edildi. Bu kitapta, analizde kullanılan istatistiksel yöntemleri dahil etmek için oldukça geniş bir anlamda kullanıyoruz. ister görüntüler, sesler, yazılı metinler, DNA veya protein dizileri, nöronlardaki sivri trenler, ister fiyat veya hava zaman serisi olsun, dünya tarafından üretilen tüm “sinyaller”; tüm bunlardan örnekler ya Grenader'in Kalıp Teorisinin Unsurları [94] 'de ya da meslektaşlarımızın, ortak çalışanlarımızın ve öğrencilerin kalıp teorisi üzerine çalışmalarında yer almaktadır.

Diferansiyel geometrinin kullanıldığı örneklerden biri yüz modelleri içindir.

@Whuber tarafından soruyu (yorumlarda) cevaplamaya çalışarak, Grenander'ın kitabının 16. bölümüne, "hesaplamalı anatomi" başlığı ile bakın. İnsan anatomisinin çeşitli bölümlerini (ocak gibi) temsil etmek için manifoldlar ve bu anatomik manifoldların değişikliklerini temsil etmek için kullanılan difeomorfizmalar, karşılaştırma, büyümenin modellenmesi, bazı hastalıkların hareketinin modellenmesini sağlar. Bu fikirler D'Arcy Thompson'ın 1917'den itibaren "büyüme ve form üzerine" anıtsal incelemesine kadar uzanabilir!

Grenander bu tezden alıntı yapmaya devam ediyor:

Morfolojinin çok büyük bir bölümünde temel görevimiz, her birinin kesin tanımından ziyade ilgili formların karşılaştırılmasında yatmaktadır; ve karmaşık bir figürün deformasyonu anlaşılması kolay bir fenomen olabilir, ancak figürün kendisinin analizsiz ve tanımsız bırakılması gerekebilir. Orijinal “tip” veya karşılaştırma standardının kesin ve yeterli bir şekilde anlaşılması dışında, bir formda bir başkasının kesin bir permütasyonunu veya deformasyonunu tanımanın bu karşılaştırma süreci, matematiğin yakın bölgesinde yer alır ve çözümünü matematikçinin belirli bir yönteminin temel kullanımı. Bu yöntem, Dönüşümler Teorisini temel alan Koordinatlar Yöntemi'dir.

Bu fikirlerin en bilinen örneği, bir çocuğun üç yıl önce kaybolduğu ve birisinin yüzünün, bugünkü gibi görünmek üzere dönüştürülmüş (genellikle spline kullanarak) bir fotoğrafını yayınladığı zamandır.