Kuantil regresyon tahmin formülü

Kuantil regresyon tahmin edicisinin iki farklı temsilini gördüm.

S (β_{q}) = Σ_{ben : y_{ben} \geq x_{ben}^{'} β}^{n} q | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | + Σ_{ben : y_{ben} < x_{ben}^{'} β}^{n} (1 - q) | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} |

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

S (β_{q}) = Σ_{ben = 1}^{n} ρ_{q} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{ben} (q - 1 (u_{ben} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

burada . Birisi bana bu iki ifadenin denkliğini nasıl göstereceğimizi söyleyebilir mi? Şimdiye kadar denedim, ikinci ifadeden başlayarak. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} S (β_{q}) & = Σ_{ben = 1}^{n} u_{ben} (q - 1 (u_{ben} < 0)) (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \\ = Σ_{ben = 1}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} < 0)) (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \\ = [Σ_{ben : y_{ben} \geq x_{ben}^{'} β}^{n} (q (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q})) + Σ_{ben : y_{ben} < x_{ben}^{'} β}^{n} (q (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) - (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}))] (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Ama bu noktadan sonra nasıl ilerleyeceğime saplandım. Lütfen bunun bir ev ödevi veya ödev sorusu olmadığını unutmayın. Çok teşekkürler.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
kaynak

Hatırlarsanız, OLS kare kalıntıların toplamını en aza indirir , medyan regresyon mutlak artıkların toplamını en aza indirir . Ortanca veya en az mutlak sapma (LAD) tahmincisi, değerine sahip olduğunuz özel bir kuantil regresyon örneğidir . Miktarsal regresyon biz overprediction asimetrik ağırlıkları alır mutlak hataların bir miktar minimize ve underprediction için. LAD gösteriminden başlayabilir ve bunu , değerleri verildiğinde ve ağırlıklı verilerin kesir toplamı olarak genişletebilir ve aşağıdaki gibi çalışabilirsiniz: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{ben} > 0) q | u_{ben} | + 1 (u_{ben} \leq 0) (1 - q) | u_{ben} | \\ = 1 (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} > 0) q | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | + 1 (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ Bu sadece olduğu gerçeğini kullanır ve ardından gösterge işlevini göstergelerin koşullarını karşılayan gözlemlerin toplamı olarak yeniden yazabilirsiniz . Bu, kantil regresyon tahmincisi için yazdığınız ilk ifadeyi verecektir.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = Σ_{ben : y_{ben} > x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} q | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | + Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | \\ = q Σ_{ben : y_{ben} > x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | + (1 - q) Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} | y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} | \\ = q Σ_{ben : y_{ben} > x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) - (1 - q) Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \\ = q Σ_{ben : y_{ben} > x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) - Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) + q Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \\ = q Σ_{ben = 1}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) - Σ_{ben = 1}^{n} 1 (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) \\ = Σ_{ben = 1}^{n} (q - 1 (u_{ben} \leq 0)) u_{ben} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

İkinci satır, ağırlıkları özetlerden çıkarır. Üçüncü satır mutlak değerlerden kurtulur ve bunları gerçek değerlerle değiştirir. Tanım olarak , olduğunda , dolayısıyla bu satırdaki işaret değişir. Dördüncü satır çarpılır . Daha sonra ve dördüncü satırdaki orta terimin toplamını ilgili göstergeyle değiştirme beşinci hatta gelirsiniz. Çarpanlara ayırma ve sonra değiştirme $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q Σ_{ben : y_{ben} > x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) + q Σ_{ben : y_{ben} \leq x_{ben}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q}) = Σ_{ben = 1}^{n} (y_{ben} - x_{ben}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
Bu, iki ifadenin nasıl eşdeğer olduğunu gösterir.

— Andy
kaynak