İki formülasyon , birinci formülasyondaki her değeri için, iki formülasyonun aynı minimizer sahip olacağı şekilde, ikinci formülasyon için değeri olduğu anlamında eşdeğerdir .λ βtλβ
İşte gerekçe:
Kement formülasyon göz önünde bulundurun:
asgarileştirir olsun ve let . Benim iddiam, ilk formülasyonda ayarlarsanız , ilk formülasyonun çözümü de . İşte kanıt:
f(β)=12||Y−Xβ||22+λ||β||1
b = | | β ∗ | | 1 t = b β ∗β∗b=||β∗||1t=bβ∗
İlk formülasyonu düşünün
Mümkünse bu ikinci formülasyonun bir çözümü olsun öyle ki (işaretten kesinlikle daha az not edin). O zaman ın kement için bir çözüm olduğu gerçeğiyle çelişen olduğunu görmek kolaydır. Böylece, birinci formülasyonun çözümü de .
min12||Y−Xβ||22 s.t.||β||1≤b
β^||β^||1<||β∗||1=bf(β^)<f(β∗)β∗β∗
Yana , tamamlayıcı gevşeklik durumu çözeltisi noktasında yerine getirilir .t=bβ∗
Bu nedenle, ile bir kement formülasyonu verildiğinde , kement çözeltisinin normunun değerine eşit bir kullanarak kısıtlı bir formülasyon oluşturursunuz . Tersine, ile kısıtlanmış bir formülasyon verildiğinde , bir bulursunuz , böylece kementin çözümü kısıtlanmış formülasyonun çözeltisine eşit olacaktır.λtl1tλ
(Alt sınıfları biliyorsanız, bu lambda'yı denklemini çözerek bulabilirsiniz , buradaλXT(y−Xβ∗)=λz∗z∗∈∂||β∗||1)