Temel bootstrap güven aralığının kapsama olasılıkları

Üzerinde çalıştığım bir ders için şu sorum var:

Standart normal bootstrap güven aralığının ve temel bootstrap güven aralığının kapsama olasılıklarını tahmin etmek için bir Monte Carlo çalışması yapın. Normal bir popülasyondan örnek alın ve örnek ortalaması için ampirik kapsama oranlarını kontrol edin.

Standart normal bootstrap CI için kapsama olasılıkları kolaydır:

n = 1000;
alpha = c(0.025, 0.975);
x = rnorm(n, 0, 1);
mu = mean(x);
sqrt.n = sqrt(n);

LNorm = numeric(B);
UNorm = numeric(B);

for(j in 1:B)
{
    smpl = x[sample(1:n, size = n, replace = TRUE)];
    xbar = mean(smpl);
    s = sd(smpl);

    LNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[1]) * (s / sqrt.n);
    UNorm[j] = xbar + qnorm(alpha[2]) * (s / sqrt.n);
}

mean(LNorm < 0 & UNorm > 0); # Approximates to 0.95
# NOTE: it is not good enough to look at overall coverage
# Must compute separately for each tail

Bu kurs için öğretilenlerden temel bootstrap güven aralığı şu şekilde hesaplanabilir:

# Using x from previous...
R = boot(data = x, R=1000, statistic = function(x, i){ mean(x[i]); });
result = 2 * mu - quantile(R$t, alpha, type=1);

Mantıklı. Anlamadığım temel bootstrap CI için kapsama olasılıklarının nasıl hesaplanacağı . Kapsam olasılığının, CI'nin gerçek değeri kaç kez içerdiğini (bu durumda mu) temsil edeceğini anlıyorum . bootİşlevi birçok kez çalıştırıyor muyum ?

Bu soruya farklı şekilde nasıl yaklaşabilirim?

Terminoloji muhtemelen tutarlı bir şekilde kullanılmaz, bu yüzden aşağıdaki sadece orijinal soruyu nasıl anladığımdır. Anladığım kadarıyla, hesapladığınız normal CI'ler istenen şey değildir. Her bootstrap replikası seti size çok fazla değil, bir güven aralığı verir. Bir grup bootstrap replikatının sonuçlarından farklı CI tiplerini hesaplamanın yolu aşağıdaki gibidir:

B    <- 999                  # number of replicates
muH0 <- 100                  # for generating data: true mean
sdH0 <- 40                   # for generating data: true sd
N    <- 200                  # sample size
DV   <- rnorm(N, muH0, sdH0) # simulated data: original sample

boot$M^{\star}$$\mu$$S_{M}^{2\star}$$\sigma_{M}^{2}$$t$

> getM <- function(orgDV, idx) {
+     bsM   <- mean(orgDV[idx])                       # M*
+     bsS2M <- (((N-1) / N) * var(orgDV[idx])) / N    # S^2*(M)
+     c(bsM, bsS2M)
+ }

> library(boot)                                       # for boot(), boot.ci()
> bOut <- boot(DV, statistic=getM, R=B)
> boot.ci(bOut, conf=0.95, type=c("basic", "perc", "norm", "stud"))
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 999 bootstrap replicates
CALL : 
boot.ci(boot.out = bOut, conf = 0.95, type = c("basic", "perc", "norm", "stud"))

Intervals : 
Level      Normal            Basic         Studentized        Percentile    
95%   ( 95.6, 106.0 )   ( 95.7, 106.2 )  ( 95.4, 106.2 )   ( 95.4, 106.0 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

Paketi bootkullanmadan replicate()bir dizi bootstrap kopyası almak için kullanabilirsiniz .

boots <- t(replicate(B, getM(DV, sample(seq(along=DV), replace=TRUE))))

Ancak boot.ci(), bir referansa sahip olmak için elde edilen sonuçlara sadık kalalım.

boots   <- bOut$t                     # estimates from all replicates
M       <- mean(DV)                   # M from original sample
S2M     <- (((N-1)/N) * var(DV)) / N  # S^2(M) from original sample
Mstar   <- boots[ , 1]                # M* for each replicate
S2Mstar <- boots[ , 2]                # S^2*(M) for each replicate
biasM   <- mean(Mstar) - M            # bias of estimator M

$t$$\alpha/2$$1 - \alpha/2$boot.ci()

(idx <- trunc((B + 1) * c(0.05/2, 1 - 0.05/2)) # indices for sorted vector of estimates
[1] 25 975

> (ciBasic <- 2*M - sort(Mstar)[idx])          # basic CI
[1] 106.21826  95.65911

> (ciPerc <- sort(Mstar)[idx])                 # percentile CI
[1] 95.42188 105.98103

$t$$t^{\star}$$t$$z$

# standard normal CI with bias correction
> zCrit   <- qnorm(c(0.025, 0.975))   # z-quantiles from std-normal distribution
> (ciNorm <- M - biasM + zCrit * sqrt(var(Mstar)))
[1] 95.5566 106.0043

> tStar <- (Mstar-M) / sqrt(S2Mstar)  # t*
> tCrit <- sort(tStar)[idx]           # t-quantiles from empirical t* distribution
> (ciT  <- M - tCrit * sqrt(S2M))     # studentized t-CI
[1] 106.20690  95.44878

Bu CI tiplerinin kapsama olasılıklarını tahmin etmek için, bu simülasyonu birçok kez çalıştırmanız gerekecektir. Kodu bir işleve sarın, CI sonuçlarıyla bir liste döndürünreplicate() ve bu özette gösterildiği gibi çalıştırın .