Kare normal ve ki kare değişkenlerin evrişiminin dağılımı?

Son zamanlarda veriler analiz edilirken aşağıdaki sorun ortaya çıkmıştır. Rasgele X değişkeni bir normal dağılım takip eder ve Y, bir izliyorsa (n serbestlik dereceli) ile dağıtım, nasıl dağıtılmış? Şimdiye kadar buldum : $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

hem de kıvrım entegrali bazı basitleştirmeler (şekilde pdf sahip m serbestlik dereceli) ile: $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Birisi herhangi bir gerçek t için bu integrali hesaplamak için iyi bir yol görüyor mu veya sayısal olarak hesaplanması gerekiyor mu? Yoksa çok daha basit bir çözümü mi kaçırıyorum?

— Leo Szilard
kaynak

Y

$Y$

Bence integralin yapılabileceği pek olası değil.

— Dave31415 24.12.2014

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

Güzel. Tek sayılar için, çift sayıları sınırlamak için muhtemelen sonucun ortalamasına yaklaşabilirsiniz? Ya da olmayabilir.

— Dave31415

Cevaplarınız için teşekkürler! Eşit hatta bazı durumlarda, Dawson'ın işlevini içeren benzer bir sonuç aldım, ancak genel bir çözüm için biraz daha iş yapmak zorunda kalacağım gibi görünüyor ...

— Leo Szilard

$Y^2$

Stacy, EW (1962). Gama Dağılımının Genelleştirilmesi. Yıllık Matematik İstatistikleri 33 (3) , s. 1187-1192.

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

$^2$

— Carl
kaynak

Bunun soruyu nasıl cevapladığını açıklayabilir misiniz? Doğrudan ilgili görünmüyor.

— whuber

Pearson tip III konvolüsyon kendisi ile yapılabilir. Bazı nedenlerden dolayı, bir şeyi kendisiyle karıştırmak, bir şeyi başka biriyle karıştırmaktan daha kolaydır. Örneğin, Pearson tip III konvolüsyonunu çözdüm ve ND'nin GD ile konvolüsyonlarını, ilgili bir problem elde ettim.

— Carl

Yardımcı olmamış gibi görünüyor, kısa süre içinde silinecek.

— Carl