Aynı mı farklı mı? Bayes yolu

Aşağıdaki modele sahip olduğumu söyle:

Poisson (λ) \sim {\begin{cases} λ_{1} & if t < τ \\ λ_{2} & if t \geq τ \end{cases}

$\text{Poisson}(\lambda) \sim \begin{cases} \lambda_1 & \text{if } t \lt \tau \\ \lambda_2 & \text{if } t \geq \tau \end{cases}$

Ve verilerimden ve için posteriorları . Söylüyorum (veya ölçme) eğer bir Bayes yolu var mı ve olan aynı ya da farklı ? $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

Belki ölçüm olasılığını farklıdır $\lambda_1$ $\lambda_2$ ? Ya da KL sapmalarını mı kullanıyorsunuz?

Örneğin, $p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$ veya en azından $p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$ nasıl ?

Genel olarak, aşağıda gösterilen posterlere sahip olduğunuzda ( her ikisi için her yerde sıfır olmayan PDF değerleri varsayalım ), bu soruyu cevaplamanın iyi bir yolu nedir?

resim açıklamasını buraya girin

Güncelleme

Bu soru iki şekilde cevaplanabilir gibi görünüyor:

Posterior numunelerimiz varsa, $\lambda_1 \neq \lambda_2$ (veya eşdeğeri $\lambda_2 > \lambda_1$ ) . @ Cam.Davidson.Pilon, bu tür örnekleri kullanarak bu sorunu çözecek bir cevap içeriyordu.
Posteriorların bir çeşit farkını entegre etmek. Ve bu sorumun önemli bir parçası. Bu entegrasyon nasıl olurdu? Muhtemelen örnekleme yaklaşımı bu integrale yaklaşacaktır, ancak bu integralin formülasyonunu bilmek istiyorum.

Not: Yukarıdaki grafikler bu malzemeden alınmıştır .

distributions bayesian poisson-distribution

— Amelio Vazquez-Reina
kaynak

Her iki dağılımın varyansını hesaplayabilir ve ekleyebilirsiniz. Bu, araçlardaki farkın varyansıdır. Daha sonra ortalamalardaki farkı hesaplayın ve kaç standart sapma olduğunu görün. Her iki dağıtımı da normal ile başlatabilir ve normal dağıtım için olağan güven aralıklarını kullanabilirsiniz. Bunlar açıkça farklı araçlardır.

— Dave31415

İçsel hipotez testi bir cevaptır

— Stéphane Laurent

Gerekli tüm hesaplamalar verilmiştir benim kağıt ama vakasını okumamış var ( iki Poisson oranları oranıdır)

H_{0} : {ϕ = 1}

$H_0:\{\phi=1\}$

ϕ

$\phi$

— Stéphane Laurent

Teşekkürler StéphaneLaurent. Makaleniz harika bir işaretçi, ancak Poisson süreçlerine özgü gibi görünüyor. Yüksek düzeyde karşılaştırma, bir Bayes eğer tahmin etmek yapabileceği, ne aynı veya farklı ? Analizin dağılıma özel olması gerekiyor mu?

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

— Amelio Vazquez-Reina

Üzgünüz @ user023472 Bugünlerde enerjim yok. Bernardo'nın makalemde geçen makaleleri görün. "İçsel", yöntemin sadece modelden türetildiği anlamına gelir.

— Stéphane Laurent

Yanıtlar:

Bence daha iyi bir soru, önemli ölçüde farklı mı?

Bunu cevaplamak için hesaplamamız gerekiyor . Bu miktarı . Eğer , o zaman birinin diğerinden daha büyük olma şansı vardır. Öte yandan, gerçekten 1'e , evet daha büyük (okuma: farklı) olduğundan . $P(\lambda_2 > \lambda_1)$ $p$ $p \approx 0.50$ $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

Nasıl hesaplama yapmak ? Bayes MCMC çerçevesinde önemsizdir. Posteriordan örneklerimiz var, bu yüzden örneklerin daha büyük olduğu : $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

 p = np.mean( lambda_2_samples > lambda_1_samples )
 print p

Bunu kitaba dahil etmediğim için özür dilerim, Bayesian çıkarımındaki en yararlı fikirlerden biri olduğunu düşündüğüm için kesinlikle ekleyeceğim

— Cam.Davidson.Pilon
kaynak

Her ikisi de sürekli rasgele değişkenler olduğu için olasılık 1.0'dır. düşünün: ile ilgili önceden tahmininiz ? Gerçekten eşit olduklarını düşünüyor musunuz? (Hipotez testlerini göz ardı edin: değişkenlerin asla gerçekte eşit olmadığı gerçek dünyada yaşıyoruz). Bu Bkz yazı benim kahraman, Gelman tarafından. Hesaplamalı olarak, bunu hesaplayarak test edebilirsiniz .

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$ np.mean( lambda_2_samples != lambda_1_samples)

— Cam.Davidson.Pilon

'Eşit olmayan'ın nasıl anlamlı olduğunu tanımlayabilirsiniz. Örneğin, örneğin, birinden daha az bir fark pratikte anlamlı değilse, ve bu size için anlamlı bir istatistik

P (| λ_{1} - λ_{2} | > 1)

$P(|\lambda_1-\lambda_2| > 1)$

P (λ_{1} \neq λ_{2})

$P(\lambda_1 \ne \lambda_2)$

— Sam Dickson

Önceki eklemek için, ve değişkenleri , = olma olasılığı vardır .

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

— Cam.Davidson.Pilon

Tanrım, bu durumda olmaktan nefret ederim! Kötü integralleri içerir. Çoğu model için, posteriorları gerçekten türetemezsiniz. Yapabilseniz bile, sadece örnek almak uğruna bir bilgisayar kullanmak daha iyi olabilir. Özetle, bunun gibi hesaplamalar için örnekler> formüller .

— Cam.Davidson.Pilon

"Yeterince büyük" ölçmüyorsunuz. -10, 10'luk bir zirveye sıfır ve diğeri eşit kütlelere sahip bir dağılım düşünün. İstatistiğiniz - bir örneğin diğerinden daha büyük olduğunu gösteren göstergenin beklenen değeri 0.5 verir, ancak dağılımlar tamamen farklıdır.

— Neil G

Belirtildiği gibi, bu soru önemsizdir. ve sürekli rasgele değişkenler varsayarsak , . $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\Pr(\lambda_1=\lambda_2)=0$

ve birbirlerinin bazı içinde olma olasılığı ile ilgilendiğinizi . Bu durumda, aralığındaki iki arka yoğunluktaki farkın alanı cevabınızdır. Daha büyük örtüşme değerleri, iki posteriorun daha benzer olduğunu gösterir. $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\epsilon$ $[-\epsilon/2, \epsilon/2]$

Simüle edilmiş sonuçlarla çalışmayı tercih ediyorsanız (ve çoğu sorun için seçim lüksümüz yok), sonuç olarak yaklaşık olarak olan sonuçların oranını alın . $\lambda_2>\lambda_1$

— Sycorax: Monica'yı eski durumuna getirdi
kaynak

Teşekkürler. Cevabınız OP'nin yorumlarında tartışılan bazı fikirlerle nasıl ilişkilidir?

— Amelio Vazquez-Reina

Özür dilerim, ama bu yöntemlerin hiçbirine aşina değilim, bu yüzden anlamlı bir şekilde yorum yapamam. @ Stéphane_Laurent oldukça akıllı, bu yüzden en azından bağlantıya bakmanızı tavsiye ederim.

— Sycorax, Reinstate Monica

@ user023472 Özür dilerim Bugün içsel uyumsuzluk yaklaşımı hakkında bir cevap verme enerjim yok. Kullback-Leibler ayrışmasına dayanır.

— Stéphane Laurent

@ user777 Bu, epsilon'un düzeltilmesini gerektirir . veya olasılığını görmek istersem ne olur ?

ϵ

$\epsilon$

p (λ_{2} > λ_{1})

$p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

p (λ_{2} \neq λ_{1})

$p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$

— Amelio Vazquez-Reina

Teşekkürler @ user777. Numunelere erişimimiz olmadığında durumla ilgileniyorum. Yayınınızda daha önce bir integral vardı, ancak silmişsiniz gibi görünüyor. Bu integral nasıl olurdu?

— Amelio Vazquez-Reina