Bir dağılımın sonsuz ortalama ve varyansı nasıl olabilir?

35

Aşağıdaki örneklerin verilebileceği takdir edilecektir:

Sonsuz ortalama ve sonsuz varyanslı dağılım.
Sonsuz ortalama ve sonlu varyanslı dağılım.
Sonlu ortalama ve sonsuz varyanslı dağılım.
Sonlu ortalama ve sonlu varyanslı dağılım.

Wilmott forumunda / web sitesinde bir yazı okuduğum, okuduğum ve okuduğum ve yeterince açık bir açıklama bulamadığım bir makalede kullanılan bu bilinmeyen terimleri (sonsuz ortalama, sonsuz varyans) görmek benden geliyor . Ayrıca kendi ders kitaplarımın hiçbirinde herhangi bir açıklama bulamadım.

distributions variance mean

— user1205901 - Monica'yı yeniden çalıştır
kaynak

1

yukarıdaki listenizdeki dava 2 mümkün değil.

— kjetil b halvorsen

İlgili: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

1

Olası yinelenen sonlu ve sonsuz varyans arasındaki fark nedir

— Halvorsen Kjetil b

2

Bu dört özel örneği sorarak, bunun farklı bir soru olduğunu ve yinelenen olarak kapatılmaması gerektiğini düşünüyorum - diğer soru kesinlikle ilgili ve faydalı olsa da.

— Silverfish

1

4 örnekten sadece 1, 3 ve 4 aslında mümkündür ve 1 ve 4 için kolay örnekler verilebilir. Cauchy 1’in bir örneğidir ve Gaussian 4’ün bir örneğidir. Varyansın iyi tanımlanması imkansızdır. eğer .mean yoksa. Dolayısıyla 2 mümkün değildir. 3 örneği oluşturmak için ilginç olurdu.

— Michael Chernick

52

Ortalama ve varyans, integral olarak tanımlanır. Ortalama ya da varyansın sonsuz olmasının anlamı , bu integrallerin sınırlayıcı davranışları hakkında bir ifadedir.

Örneğin, ortalama (bunu göz önünde bulundurarak bir Stieltjes integrali olarak söyleyin); Sürekli bir yoğunluk için bu, (şimdi bir Riemann integrali olarak) olur. $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Bu, örneğin kuyruğu "yeterince ağırsa" olabilir. Dört sonlu / sonsuz ortalama ve varyans durumu için aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun:

Sonsuz ortalama ve sonsuz varyanslı dağılım.

Örnekler: Pareto dağılımı ile , zeta (2) dağılımı. $\alpha= 1$
Sonsuz ortalama ve sonlu varyanslı dağılım.

Mümkün değil.
Sonlu ortalama ve sonsuz varyanslı dağılım.

Örnekler: dağılımı . ile Pareto . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Sonlu ortalama ve sonlu varyanslı dağılım.

Örnekler: Herhangi bir normal. Herhangi bir üniforma (gerçekten, herhangi bir sınırlı değişken tüm anlara sahiptir). . $t_3$

İntegralin tanımsız olduğu ancak sınırdaki tüm sınırlı sınırların ötesine geçmesi gerekmeyen bir dağılım da olabilir.

Charles Geyer'in bu notları , ilgili integralleri basit terimlerle nasıl hesaplayacağınızla ilgili konuşur. Burada sadece sürekli olayı kapsayan ancak daha genel integral tanımları (örneğin Stieltjes) tanımlayan Riemann integralleri ile ilgileniyor gibi görünmektedir (örneğin, Stieltjes), ihtiyaç duyacağınız tüm durumları kapsayacaktır [Lebesgue entegrasyonu, ölçü teorisinde kullanılan entegrasyon şeklidir. (olasılık altını çizer) ancak buradaki nokta daha basit yöntemlerle iyi sonuç verir]. Aynı zamanda (Bölüm 2.5, s13-14) neden "2." yi kapsar. mümkün değil (varyans varsa ortalama mevcut).

— Glen_b
kaynak

7

+1 (2) 'nin imkansız olmasının nedeni önemsiz: varyans, ortalama olarak tanımlandı. Daha derin olanı, ikinci anının sonlu olduğu zaman, ortalamanın sonlu olması gerektiği gerçeğidir . Eğer ortalama sonsuzsa, o zaman bir fortiori ikinci anın sonsuz olması gerekir, çünkü ikinci an değerlerini yalnızca olasılıkla değil aynı zamanda kendisiyle de ağırlaştırır ( ). Bu ağırlıklar sınırsız büyür ve ikinci anın sonunda ilk anın mutlak değerini aşmasına neden olur.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber ama ortalamayı referans almadan varyansı tanımlayabilirsiniz (örneğin, değer çiftlerinde kare farklılıklarının beklentisi anlamındadır), bu yüzden mesele bu kadar önemsiz değildir. İkinci argümanınıza daha çok benzeyen bir şey gerekli.

— Glen_b

3

Bu iyi bir nokta, ancak herhangi bir alternatif varyans tanımının cebirsel olarak tüm dağılımlar için normal tanımlamaya eşdeğer olduğunu kabul edersek, o zaman mantıksal olarak tanımlanamayacak kadar yeterli olduğunu gösteren bir tanımlamaya göre tanımlanmamışsa alışveriş merkezine. Bahsettiğiniz gibi alternatiflerin öne çıkması, çeşitli tanımların eşdeğer olmadığı stokastik süreçlerin incelenmesidir.

— whuber

2

Evet ediyorum. Negatif olmayan rastgele bir değişkenin beklentisi olan bir varyans, sadece pozitif kısmın Lebesgue integraline eşittir . Bu nedenle, ne olursa olsun sonlu ya da sonsuzdur (genişletilmiş sayı satırında). Olumsuz olmanın bu özelliği, anların analizini bile tanımlanamayan diğer anlardan ayırır.

— whuber

2

Varyans tanımı, değerine eşittir .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Kararlı dağılımlar , aradığınız şeye güzel, parametrik örnekler sunar:

sonsuz ortalama ve varyans: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
sonlu ortalama ve sonsuz varyans: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
sonlu ortalama ve varyans: (Gaussian) $\text{stability parameter} = 2$

— Steve Schulist
kaynak

1

Burada kimse St. Petersburg paradoksundan bahsetmedi; Aksi halde, bu eski konuya, bir "kabul edilmiş" cevabını içeren çok sayıda cevabı olan bir yazı göndermedim.

Bir jeton "kafaları" inerse bir kuruş kazanırsınız.

"Yazı" ise, kazançlar ikiye katlanır ve ardından ikinci tura "kafa" gelirse, iki sent kazanırsınız.

İkinci kez "kuyruk" yazarsa, kazançlar tekrar iki katına çıkar ve üçüncü atışta "başlarsa", dört sent kazanırsınız.

Ve bunun gibi: Ürünlerin toplamı bu nedenle sonsuz bir beklenen değerdir .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

Bu, eğer her para atma için milyon dolar veya trilyon vb. Ödüyorsanız sonuçta ortaya çıkıyor demektir. Her seferinde birkaç kuruştan fazla kazanma olasılığınız yoksa, bu nasıl olabilir? $\$1$ $\$1$

Cevap, çok nadir görülen durumlardan birinde, uzun bir kuyruk dizisi elde edersiniz, böylece kazançlar, yaptığınız büyük masrafları telafi eder. Her fırlatmaya ödediğiniz fiyat ne kadar yüksek olursa olsun bu doğru.

— Michael Hardy
kaynak

-1

Aradığınız ikinci dağıtım hakkında, rastgele değişkenini göz önünde bulundurun Sonra cevap olasılık 1 ile sınırsızdır ve bu nedenle varyans sıfırdır ve dağılım sonsuz değerdedir.

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Bay Joe
kaynak

Bu ilginç bir örnek, ancak hesaplamalar için, olan genişletilmiş bir gerçek sayı sistemine ihtiyacınız var .

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

— kjetil b halvorsen