Öklid mesafesinin normal dağılıma rastgele iki değişken arasındaki dağılımı nedir?

Kesin konumları bilinmeyen ancak bilinen parametrelere sahip normal dağılımlara göre dağıtılmış (örneğin ve iki nesne verildiğini varsayalım . Bunların her ikisinin de iki değişkenli normlar olduğunu varsayabiliriz; öyle ki, konumlar koordinatları üzerinde bir dağılımla tanımlanır (yani, ve , sırasıyla ve için beklenen koordinatlarını içeren vektörlerdir ). Ayrıca nesnelerin bağımsız olduğunu varsayacağız. $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

Kare öklid mesafesinin bu iki nesne arasındaki dağılımının bilinen bir parametrik dağılım olup olmadığını bilen var mı? Veya bu fonksiyon için PDF / CDF'yi analitik olarak nasıl türetirsiniz?

normal-distribution distance-functions

— Nick
kaynak

Dört koordinatın da ilişkisiz olması koşuluyla, merkezi olmayan bir kare kare dağılımının bir çoğunu elde etmelisiniz. Aksi takdirde, sonuç çok daha karmaşık görünüyor.

— whuber

@ merkezi olmayan chi-kare dağılımının parametrelerinin a, b nesnelerininkilerle nasıl ilişkili olduğuna dair sağlayabileceğiniz herhangi bir ayrıntı / işaretçi @whuber

— Nick

@ Wikipedia makalesinin ilk birkaç paragrafında ayrıntıları belirtin . Karakteristik fonksiyonlar bakarak benzer bir sonucu olduğunu kurabilir değil tüm sapmaları aynıdır ya da bazı korelasyonların olduğunda kullanılabilir.

— whuber

@ Nick, açıklık kazandırmak için, her ikisi de

a

$a$ ve

b

$b$ değerleri ile rastgele vektörlerdir

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ ?

— mpiktas

Eğer @ Nick,

a

$a$ ve

b

$b$ ortaklaşa normal, sonra fark

a - b

$a-b$ çok normaldir. O zaman senin problemin normal vektörlerin dağılımını bulmak. Googling Bu bağlantıyı buldum . Bu makale, çok özel bir durumda sizinki ile çakışan çok daha karmaşık bir problemi açıklamaktadır. Bu, sorunuza kesin bir cevap olduğu konusunda umut veriyor. Referanslar, nerede arama yapabileceğiniz konusunda daha fazla fikir verebilir.

— mpiktas

Yanıtlar:

Bu sorunun cevabı, Mathai ve Provost'un (1992, Marcel Dekker, Inc.) rastgele değişkenlerdeki Kuadratik formlar kitabında bulunabilir .

Yorumlar açıklık olarak, dağıtım bulmalıyız ortalama bir değişkenli normal dağılım aşağıdaki ve kovaryans matrisi . Bu, iki değişkenli rasgele değişken ikinci dereceden bir formdur . $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

Kısacası, ve nin moment oluşturma fonksiyonunun olduğu -boyutlu durum için güzel bir genel sonuç $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

S = Σ_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

arasında özdeğerler

bir doğrusal fonksiyonudur

. Kitapta bakınız Teoremi 3.2a.2 (sayfa 42) (biz burada varsayıyoruz yukarıda anılan

olmayan tekil değildir). Yararlı bir başka gösterimi 3.1a.1 (sayfa 29)

E (e^{t S}) = e^{t Σ_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} Π_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

iid

S = Σ_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$

N (0, 1)

$N(0, 1)$

Kitaptaki 4. Bölümün tamamı, önemsiz olmayan yoğunlukların ve dağıtım işlevlerinin temsili ve hesaplanmasına ayrılmıştır. Ben sadece kitabın yüzeysel olarak aşinayım, ancak izlenimim, tüm genel temsillerin sonsuz seri açılımlar açısından olduğu yönünde.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$ $b$ $a-b$

— NRH
kaynak

Referans için teşekkürler, kitabı buldum ve yavaşça üzerinden geçmeye çalışıyorum

— Nick

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

İkinci olarak, fark vektör uzunluğunun dağılımına veya Hoyt'un dağıtıldığı orijinden radyal mesafeye bakın :

İki değişkenli gerçek ortalama etrafındaki yarıçap, kutupsal koordinatlarda (yarıçap ve açı) yeniden yazılmış eşit olmayan değişkenlerle normal rastgele değişkeni ilişkilendirmiştir, bir Hoyt dağılımını izler. Pdf ve cdf kapalı formda tanımlanmıştır, sayısal kök bulma cdf ^ −1'i bulmak için kullanılır. Korelasyon 0 ise ve değişkenlikler eşitse Rayleigh dağılımına indirgenir.

Ballistipedia'dan taraflı bir farklılığa (kaydırılmış orijinli) izin verirseniz daha genel bir dağılım ortaya çıkar :

— Felipe G. Nievinski
kaynak

+1, ancak sorunun, "Genel dava" olarak adlandırdığınız şeyle ilgilendiğini belirtmeye değer olduğunu düşünüyorum.

— amip diyor Reinstate Monica

Neden test etmiyorsun?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

Arsa 1 Arsa 2 Arsa 3 Arsa 4

— Brandon Bertelsen
kaynak

Özgün soruya yorum yapanlar, varyansların aynı olması ve değişkenlerin birbiriyle ilişkilendirilmemesi durumunda neye benzeyeceğini önceden belirtti. Belki de durumun olmadığı yerlere bir örnek vermek daha aydınlatıcı olurdu.

— Andy W,

Böyle bir örnek verebilir misiniz?

— Brandon Bertelsen

Yapmanız gereken tek şey, ilişkili ya da farklı varyansları olan x ve y değerlerini üretmektir. Farklı varyasyonlar olduğu gibi kodda da yapılabilir. MASS paketinden mvrnorm kullanarak belirtilen bir kovaryans matrisinden değerler üretebilirsiniz. Ayrıca "diş hekimi" işlevinin yukarıdaki kodda ne olduğundan emin değilim, belki "yoğunluk" olması gerekir.

— Andy,

Muhtemelen, bunun neden böyle olduğunu (ve varyans / kovaryansları manipüle etmenin dağılımı nasıl değiştireceğini) görmek için matematikte çalışmanın aydınlatıcı olduğu söylenebilir. Benim için durumun neden sadece whuber tarafından belirtilen karakteristik fonksiyona bakarak böyle olduğu tamamen açık değil. Görünüşe göre rastgele değişkenleri eklemek, çıkarmak ve çarpmak için basit bir kurallar anlayışı bunun neden olduğunu anlamada size yardımcı olacaktır.

— Andy