Bir bahisçinin futbol oyunlarında yanlış yorum yapma olasılığı nedir?

Bir İngiliz futbol takımı, farklı yeteneklere sahip farklı rakiplere karşı bir dizi maç oynar. Bir bahis şirketi, her maç için ev sahibi galibiyeti, deplasman galibiyeti veya beraberlik olup olmadığı konusunda oranlar sunar. Sezon boyunca, takım maç oynadı ve bunlardan çekti , ki bu oranlardan beklenenden daha fazla. $n$ $k$

Bahis şirketinin şanssız olmaktan ziyade bu maçlardaki oranları yanlış fiyatlandırma olasılığı nedir? Bahis şirketi takımın geri kalan maçlarını benzer bir şekilde fiyatlandırmaya devam ederse ve her birinin berabere olacağına bahis oynarsam, beklenen getirim nedir? $\$1$

probability games gambling

— Rodrigo de Azevedo
kaynak

Daha önce math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Joel Reyes Noche

Sorunuzun cevabı, hangi bilgiyi ve varsayımları kullanacağınıza karmaşık bir şekilde bağlıdır. Çünkü oyunun sonucu olağanüstü karmaşık bir süreçtir. Hakkında hangi bilgilere sahip olduğunuza bağlı olarak keyfi olarak karmaşık olabilir:

Belirli takımdaki oyuncular - belki de belirli oyuncu kombinasyonları alakalı olabilir.
Diğer takımlardaki oyuncular
Ligin geçmiş tarihi
Takımın oyuncuları ne kadar kararlı - oyuncular seçilmeye ve bırakılmaya devam ediyor mu yoksa aynı mı 11?
Bahsinizi yaptığınız süre (oyun sırasında? Önce? Ne kadar önce? Daha önce bahis yapmaktan güne bahis yapmaktan ne tür bilgiler kaybedilir?)
atladığım futbolun diğer ilgili özellikleri.

Bir kitap yapımcının verdiği ihtimaller, kitap yapımcılarının oranlarının bir yansıması değildir. bu olasılıklarsa imkansızdır. Bir kitap üreticisi, birisi berabere bahis yaptığında bahis oranlarını düşürür ve berabere olmayan bahislerde bahis yapar. Dolayısıyla, bahis oranları (bu kitap yapımcısı kullanan) bahisçilerin bir bütün olarak yansımasıdır. Bu yüzden, kendi başına bayan fiyatlandırması yapan bahis şirketi değil, kumar kolektifi - veya "ortalama kumarbaz".

Şimdi, eğer bir "nedensel mekanizma" bir beraberlik ile sonuçlanan varsayalım sezon boyunca sabit kalır (makul? Muhtemelen değil ...), o zaman basit bir matematiksel problem elde edilir (ama bunun için bir neden olmadığını unutmayın) diğer basitleştirici varsayımlardan daha "doğru" olabilir). Bize bunun kullanılan varsayım olduğunu hatırlatmak için, $A$ olasılıkların koşullandırma tarafına konulacaktır. Bu varsayım altında binom dağılımı geçerlidir:

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

Ve aşağıdakileri hesaplamak istiyoruz

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (sonraki maç berabere | θ, bir) P (θ | k n maçında berabere biter, bir) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

burada

P (θ | k n maçında berabere biter, bir) = P (θ | bir) \frac{P (k n maçında berabere biter | θ, bir)}{P (k n maçında berabere biter | bir)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

için posterior . Şimdi bu durumda, berabere kalmanın mümkün olduğu ve bunun da mümkün olmaması oldukça açıktır, bu nedenle tek tip bir öneri uygundur (sezonun sonuçlarının ötesine eklemek istediğimiz fazladan bilgi yoksa) ) ve ayarladık . Arka sonra (bir beta dağılımı ile verilir olan beta fonksiyonu ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k n maçında berabere biter, bir) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

Verilen ve olasılık sonraki maç berabere olmasıdır sadece ayrılmaz olur böylece: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

ve dolayısıyla olasılık sadece:

P (sonraki maç berabere | k n maçında berabere biter, bir) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

Ancak bunun bağlı olduğuna dikkat edin - yapılan varsayımlar. "Fiyatlı oran" diğer bazı bilinmeyen karmaşık bilgilere bir olasılık şartlı Çağrı derler . Dolayısıyla, yayınlanan oranlar yukarıdaki fraksiyondan farklıysa, bu ve farklı sonuçlara yol açtığını söyler , bu nedenle her ikisi de "gerçek sonuç" konusunda doğru olamaz (ancak her ikisi de yapılan varsayımlara göre doğru şartlı olabilir) ). $A$ $B$ $A$ $B$

KILLER BLOW

Bu örnek, sorunuzun cevabının , futbol oyununun mekaniğini tanımlarken "daha doğru" olup olmadığına karar vermeye kaynadığını gösterdi . Bu olursa olsun önerme ne olacağını olur . Her zaman "kimin varsayımları doğru, kumar kolektifi mi, yoksa benimki mi?" Bu son soru, önerisinin tam olarak ne olduğunu (ya da en azından bazı temel özelliklerinden) tam olarak öğreninceye kadar temelde cevapsız bir sorudur . Bilinen bir şeyi olmayan bir şeyle nasıl karşılaştırabilirsiniz? $A$ $B$ $A$ $B$

GÜNCELLEME: Gerçek bir cevap :)

@Whuber'ın işaret ettiği gibi, aslında burada beklenen bir değer vermedim - bu yüzden bu bölüm cevabımın o kısmını tamamlıyor. Eğer biri fiyat oranları ile doğru olduğunu varsayarsa, sonraki oyunda $A$ $Q$

S x P (sonraki maç berabere | k n maçında berabere biter, bir) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= S x \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{S (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Eğer değeri olduğunu varsayarsak Şimdi sizinkiyle aynı modeline dayanan o zaman tam olarak nasıl tahmin edebilirsiniz geleceğe değişecektir. Diyelim ki , üniform farklı bir örneğin , o zaman karşılık gelen olasılık $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (sonraki maç berabere | k n maçında berabere biter, {bir}_{S}) = \frac{k + α_{S}}{n + α_{S} + β_{S}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

beklenen beklenen

\frac{S (k + α_{S}) - n - α_{S} - β_{S}}{n + α_{S} + β_{S}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

Şimdi "önceki ağırlığı" , burada , sezonun uzunluğudur (bu, "miss-fiyatlandırmanın" sezonun geri kalanında devam etmesini sağlar) ve Beklenen dönüşü sıfıra ayarladık: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{S} = \frac{2 n + N-}{2 S} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(NOT: bu gerçek model değilse, bu hesaplamanın ne zaman yapıldığına bağlı olacaktır, çünkü bu zaman içinde değişecek olan bağlıdır ). Nasıl Şimdi tahmin edebiliyoruz geleceğe ayarlanacaktır, o kadar yüksek olur her maç için paydaya ve maç berabere olsaydı payında için. İlk maçtan sonra beklenen oranlar: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{S} - k + 1}{k + α_{S}}) \frac{n - k + β_{S}}{n + α_{S} + β_{S}} + (1 + \frac{n + β_{S} - k}{k + α_{S} + 1}) \frac{k + α_{S}}{n + α_{S} + β_{S}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{S} - k}{k + α_{S}} (1 + \frac{2}{(2 n + N-) (k + α_{S} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{S} - k}{k + α_{S}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

Bu oranlar sezon boyunca fazla değişmeyecek. Bu yaklaşımı kullanarak sezonun geri kalanında beklenen getiriyi şu şekilde elde ederiz:

(N- - n) \frac{S (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Ancak bunun bir çekilişin aşırı basit modeline dayandığını unutmayın (not: bu mutlaka "saçmalık" tahmincisi olacağı anlamına gelmez). Sorunuzun benzersiz bir cevabı olamaz, çünkü belirlenmiş bir model ve önceden belirlenmiş bir bilgi yoktur (örneğin bu bahisçiyi kaç kişi kullanır? Bahisin cirosu nedir? Bahislerim fiyatlarındaki oranları nasıl etkiler?). Belirtilen tek şey, bir sezondaki verilerdir ve "bazı belirtilmemiş model" için olasılıklar, oran fiyatlandırmasıyla ima edilenlerle tutarsızdır.

— probabilityislogic
kaynak

Bahisçiler bir overround kullanırlar, böylece sonuçların ne olduğunu umursamamaktadırlar, çünkü ne olursa olsun kazanırlar. Bu yüzden asla zavallı bir bahisçiyle karşılaşmazsın. Bir bahis şirketi kötüye kullanıyorsa, kar elde etme yeteneğiniz, bahis şirketinin sunduğu oranlara ve üretilen kârın kaybettiğiniz zamanları kaplayıp kapamayacağına bağlıdır.

— Parbury
kaynak

Bu doğru olabilir, ancak çoğunlukla alakasız olabilir, çünkü soru kumarbazın beklenen dönüşünü soruyor, bahisçinin beklenen dönüşünü değil

— probabilityislogic

@probability Peki olduğu kumarbaz beklenen getiri? Cevabınızda bulamadım :-).

— whuber