Bağımsız Rasgele Değişkenlerin İşlevleri

25

Bağımsız rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının kendi başlarına bağımsız olduğu iddiası doğru mu?

Bu sonucun, bazı örneklerde, örneğin örnek ortalama ile normal dağılımın örnek varyansı arasındaki bağımsızlığın kanıtı olarak, dolaylı olarak kullanıldığını gördüm, ancak bunun için gerekçe bulamadım. Görünüşe göre bazı yazarlar bunu olduğu gibi kabul ediyorlar ama bunun her zaman böyle olduğundan emin değilim.

— JohnK
kaynak

33

Bağımsızlığın en genel ve soyut tanımı bu iddiayı önemli bir nitelendirme koşulu sağlarken önemsiz kılar: iki rastgele değişkenin bağımsız olması, ürettikleri sigma cebirlerinin bağımsız olduğu anlamına gelir. Bir tarafından üretilen sigma cebir için ölçülebilir bir sigma cebir fonksiyonu bir alt cebir olan daha ziyade , bu rastgele değişkenlerin herhangi ölçülebilir fonksiyonlar bağımsız cebirlerini sahip, bu fonksiyonlar bağımsız İngilizce.

(Bir işlev ölçülemez olmadığında, genellikle yeni bir rasgele değişken oluşturmaz, bu yüzden bağımsız kavramı bile geçerli olmaz.)

Bunun ne kadar basit olduğunu görmek için tanımları açalım. Rastgele bir değişkenin $X$ "örnek uzay" $\Omega$ (olasılık üzerinden incelenen sonuçlar kümesi) üzerinde tanımlanan gerçek değerli bir fonksiyon olduğunu hatırlayın .

Rasgele bir değişkeni $X$ , değerinin gerçek sayıların çeşitli aralıklarında (ya da daha genel olarak, aralıkların dışında basit şekillerde oluşturulan kümeler) yer alması ihtimalleri ile incelenmiştir: bunlar gerçek sayıların Borel ölçülebilir kümeleridir).
Herhangi bir Borel ölçülebilir kümesine karşılık gelen , in olduğu tüm sonuçlardan oluşan olayıdır . $I$ $X^{*}(I)$ $\omega$ $X(\omega)$ $I$
tarafından oluşturulan sigma cebiri , tüm bu olayların toplanmasıyla belirlenir. $X$
Naif tanım iki rasgele değişkenler diyor ve olan bağımsız "ne zaman kendi olasılıklar çarpın." Yani, bir Borel ölçülebilir kümesiyim ve bir diğeriyse , o zaman $X$ $Y$ $I$ $J$

$\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$
Fakat olayların dilinde (ve sigma cebirlerinde) aynı

$\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Şimdi iki fonksiyonu düşünün ve ve rastgele değişkenler olduğunu düşünün . (Çember işlevsel kompozisyondur: . $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f \circ X$ $g\circ Y$ $(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$ "rastgele değişkenin bir işlevi".) Dikkat - bu sadece temeldir küme teorisi - ki $f$

(f \circ X)^{*} (I) = X^{*} (f^{*} (I)) .

$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$

Başka bir deyişle, (solda olan) tarafından oluşturulan her olay otomatik olarak tarafından yaratılan bir olaydır $f\circ X$ $X$ (sağ tarafın şekliyle gösterildiği gibi). Bu nedenle, (5) otomatik olarak için de geçerlidir ve $f\circ X$ : kontrol etmek bir şey yok! $g\circ Y$

NB Sen değerlerle" tarafından her yerde "gerçek değerli" yerini alabilir $\mathbb{R}^d$ " herhangi bir maddi şekilde başka değişiklik şey gerek kalmadan. Bu, vektör değerli rastgele değişkenlerin durumunu kapsar.

— whuber
kaynak

1

Sigma cebirleri ileri düzeydedir (lisansüstü seviye).

— Aksakal

3

@Aksakal Hangi okula gideceğinize veya hangi kitapları okuduğunuza bağlıdır. (Bu materyali ikinci sınıf lisans düzeyinde başarılı bir şekilde öğrettim. Bu teorinin lisans düzeyinde de, Steven Shreve'nin sadece matematiksel geçmişi olan öğrencilere hitap eden Stokastik hesap matematiği üzerindeki metinleri gibi erişilebilir erişilebilir hesapları var.) Fakat bunun önemi ne? Herhangi bir gerekçe - sofistike bile olsa - haksız bir iddiaya tercih edilmelidir.

— whuber

1

Bir soru soran birine yardım etmek için bu kadar belaya girme konusunda çok kibarsınız. Tekrar teşekkürler. Ve haklısın, tanımlar ne de olsa göz korkutucu değil.

— JohnK

13

Bu "daha az gelişmiş" kanıtı göz önünde bulundurun:

Let , bağımsız rastgele değişken ve vardır ölçülebilir işlevlerdir. Sonra: $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$ $X,Y$ $f,g$ Bağımsızlığını kullanarak ve ,

P {f (X) \leq x and g (Y) \leq y} = P ({f (X) \leq x} \cap {g (Y) \leq y}) = P ({X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}} \cap {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}}) .

$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$

X

$X$

Y

$Y$

P ({X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}} \cap {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}}) = = P {X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x} \cdot P {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}} = P {f (X) \leq x} \cdot P {g (Y) \leq y} .

$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$

Fikir önceden olduğunu grubu böylece için geçerli olan özellikler genişletilir ve aynısı için de olur

{f (X) \leq x} \equiv {w \in Ω_{X} : f (X (w)) \leq x} = {X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}},

$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

.

Y

$Y$

— Guilherme Salome
kaynak

2

+1. Temel katkıya açıkça odaklanan bu katkı için teşekkür ederiz. Sitemize hoşgeldiniz!

— whuber

7

Evet, ve , ve bağımsız olduğu sürece ve işlevlerinden bağımsızdır. Olasılık teorisi derslerinde çalışılan çok iyi bilinen bir sonuçtur. Eminim Billingsley gibi herhangi bir standart metinde bulabilirsin. $g(X)$ $h(Y)$ $g$ $h$ $X$ $Y$

— Aksakal
kaynak

Teşekkürler, şu anda Hogg & Craig ve MGB'yi inceliyorum. Billingsley bir sonraki mantıksal adımdır.

— JohnK

3

Billinglsey matematikçi olmadıkça ve çoktan önlem almamışsan işkence yapar. Partarathy en intro çok daha kolay 2-in-1 kitap Alan Karr en Olasılık metin de kolay okunur.

— Aksakal

Billingsley’den daha kolay bir metin: probability.ca/jeff/grprobbook.html

— Adrian

0

Alternatif olarak değil, önceki mükemmel cevaplara ek olarak, bu sonucun aslında çok sezgisel olduğuna dikkat edin.

$X$ $Y$ $X$ $Y$

— Alexis
kaynak