Analitik entegre etmek mümkün mü lognormal olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılır?

Birincisi, analitik olarak entegre etmekle, yani, sayısal analizlerin (trapezoidal, Gauss-Legendre veya Simpson kuralları gibi) aksine bunu çözmek için bir entegrasyon kuralı var mı?

Bir fonksiyonum var $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ burada

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$ , ile lognormal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur

μ

$\mu$ ve

parametreleri

σ

$\sigma$ . Aşağıda,

işaretini kısaltacağım ve birikimli dağılım işlevi için

g (x)

$g(x)$ kullanacağım .

G (x)

$G(x)$

integralini hesaplamam gerekiyor

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

Şu anda Gauss-Legendre yöntemini kullanarak sayısal entegrasyon ile yapıyorum. Bunu çok sayıda çalıştırmam gerektiğinden, performans önemlidir. Sayısal analizleri / diğer parçaları optimize etmeden önce, bunu çözmek için herhangi bir entegrasyon kuralı olup olmadığını bilmek istiyorum.

Parçalar halinde entegrasyon kuralını uygulamayı denedim ve buna tekrar takıldım,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

değerlendiremediğim için takıldım $\int G(x) \rd x$ .

Bu, geliştirdiğim bir yazılım paketi için.

distributions lognormal

— Roş
kaynak

@Rosh, ile log-normal dağılım olasılık yoğunluğunu mı kastediyorsunuz?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

Bu, sabit bir iki normal cdf farkı olarak ifade edilebilir. Normal cdfs, W. Cody'nin rasyonel Chebyshev yaklaşımı kullanılarak verimli bir şekilde hesaplanır. Buna nümerik entegrasyon alternatiflerine ihtiyacınız olmamalı ve neredeyse hiç tercih etmemelisiniz . Daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa, bunları gönderebilirim.

— kardinal

@mpiktas, Evet, lognormal olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve lognormalCDF kümülatif yoğunluk fonksiyonudur.

— Rosh

@Rosh lognormal dağılımı vardır, normalde dağıtılır. Bu durumda, yerine da içinde orijinal integrali. İntegral, argümanı kuadratik fonksiyonu olan bir üsteldir . Kareyi tamamlamak normal PDF'nin bir katına dönüştürür, böylece cevabınız normal CDF ve orijinal uç noktaların üsleri açısından yazılır. Normal CDF'ye (hata fonksiyonunun bir katı) çok iyi yaklaşımlar vardır.

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

Evet, @whuber ve ben aynı şeyi tarif ediyorduk. Bu gibi görünmeli burada ve ve normal cdf'yi gösterir. , , ve değerlerine bağlı olarak, bu ifadeyi daha sayısal olarak kararlı olacak şekilde yeniden yazmanın yolları olduğunu unutmayın.

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— kardinal

Kısa cevap : Hayır, en azından temel işlevler açısından mümkün değildir. Bununla birlikte, böyle bir miktarı hesaplamak için çok iyi (ve oldukça hızlı!) Sayısal algoritmalar mevcuttur ve bu durumda herhangi bir sayısal entegrasyon tekniğine göre tercih edilmelidir.

Normal cdf cinsinden ilgi miktarı

İlgilendiğiniz miktar aslında lognormal rasgele değişkenin koşullu ortalamasıyla yakından ilgilidir. Yani, ve parametreleriyle bir lognormal olarak dağıtılmışsa , gösterimi kullanarak $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

Bu integrale ilişkin bir ifade almak için, . Bu başlangıçta biraz motive olmamış gibi görünebilir. Ancak, bu ikame, ve basit bir değişken değişikliği ile burada ve . $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

Bu nedenle, burada standarttır normal dağılım dağılım işlevi.

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Sayısal yaklaşım

için bilinen hiçbir kapalı form ifadesinin bulunmadığı sıklıkla ifade edilir . Bununla birlikte, 1800'lerin başlarından itibaren bir Liouville teoremi daha güçlü bir şey ileri sürer: Bu işlev için kapalı bir form ifadesi yoktur . (Bu özel durumdaki kanıt için bkz. Brian Conrad'ın yazımı .) $\Phi(x)$

Böylece, istenen miktara yaklaşmak için sayısal bir algoritma kullanmaya bırakıldık. Bu, WJ Cody'nin bir algoritması yoluyla IEEE çift kesinlikli kayan noktaya yapılabilir. Öyle Bu sorunun standart algoritma ve oldukça düşük düzenin rasyonel ifadeleri kullanan, bu da bayağı etkili.

İşte yaklaşımı tartışan bir referans:

WJ Cody, Rasyonel Chebyshev Hata Fonksiyonu Yaklaşımları , Matematik. Zorunlu. , 1969, sayfa 631-637.

Ayrıca, örnek kod almayı kolaylaştırmaları durumunda, diğerlerinin yanı sıra, hem MATLAB hem de kullanılan uygulamadır . $R$

Burada ilgilendiğiniz durumda ilgili soru vardır.

— kardinal
kaynak