K kafalarını n fırlatırken gözlemlersiniz. Bozuk para adil mi?

Bir röportajda bu soruyu ile sordum . "Doğru" bir cevap var mı?$(n, k) = (400, 220)$

Atımların sağlandığını ve kafa olasılığının olduğunu varsayın . Daha sonra 400 tosse içindeki kafa sayısının dağılımı Normal'e (200, 10 ^ 2) yakın olmalıdır, böylece 220 kafa ortalamadan 2 standart sapma uzaktadır. Böyle bir sonucu gözlemleme olasılığı (yani her iki yönde ortalamadan 2 SD daha fazla)% 5'ten biraz daha azdır.$p=0.5$

Görüşmeci bana, aslında, "ortalamadan> 2 SD daha fazla bir şey gözlemlersem, başka bir şeylerin devam ettiği sonucuna varırım. Madalyonun adil olmasına karşı bahse girerim." Bu makul - sonuçta, çoğu hipotez testinin yaptığı şey bu. Ama bu hikayenin sonu mu? Görüşmeci için "doğru" cevap gibi görünüyordu. Burada sorduğum şey bazı nüansların haklı olup olmadığı.

Madalyonun adil olmadığına karar vermenin, bu bozuk parayla savunan bağlamda tuhaf bir sonuç olduğuna işaret edemedim. Bunu söylemek doğru muyum? Aşağıda açıklamaya çalışacağım.

Her şeyden önce, ben ve ben de çoğu insanın madeni paralar hakkında güçlü bir önceliğe sahip olduğunu varsayacağız: adil olmaları çok muhtemel. Tabii ki bu adil demekle ne demek istediğimize bağlı - bir olasılık "adil", "kafaları 0.5'e yakın, örneğin 0.49 ve 0.51 arasında bir kafaya sahip olma" olasılığı olarak tanımlamak olacaktır.

(Ayrıca mükemmel adil sikke artık ziyade görünüyor ki bu durumda sahip olmanın, kafaları olasılığı tam olarak 0.50 olduğu anlamına gibi 'adil' tanımlayabiliriz un muhtemel.)

Öncekiniz sadece madeni paralarla ilgili genel inançlarınıza değil, aynı zamanda içeriğe de bağlı olabilir. Bozuk parayı kendi cebinizden çıkarırsanız, bunun adil olduğundan neredeyse emin olabilirsiniz; sihirbaz arkadaşınız onu çıkarırsa, öncekiniz çift başlı paralara daha fazla ağırlık verebilir.

Her durumda, (i) madalyonun adil olmasına büyük bir olasılık koymak ve (ii) 220 başını gözlemledikten sonra bile posteriorunuzu oldukça benzer olmaya yönlendirmek için makul öncelikler bulmak kolaydır. Daha sonra, ortalamanın 2 SD'sini gözlemlemesine rağmen, madalyonun adil olma olasılığının yüksek olduğu sonucuna varacaksınız.

Aslında, 400 fırçanın 220 başını gözlemlemenin, posteriorunuzun jetonun adil olmasına daha fazla ağırlık kazandırdığı, örneğin tüm haksız paraların de kafa olasılığı varsa örnekler oluşturabilirsiniz .$\{0, 1\}$

Herkes benim için buna biraz ışık tutabilir mi?

Bu soruyu yazdıktan sonra daha önce bu genel durumu duyduğumu hatırladım - Lindley'in "paradoksu" değil mi?

Whuber yorumlara çok ilginç bir bağlantı koydu: Bir Die Yükleyebilirsiniz , Ama Bir Paraya Önyargı Veremezsiniz . 3. sayfadan:

Madalyonun kafa olasılığı olasılığı olduğunu söylemek mantıklı değildir, çünkü hızlı bir dönüşle havada yüksek bir şekilde atılmadıkça ve havada yakalanmadığı sürece tamamen atıldığı şekilde belirlenebilir. sekme yok, bu durumda p = 1/2.

Oldukça havalı! Bu benim sorumla ilginç bir şekilde bağlantılı: diyelim ki madalyonun “hızlı bir dönüşle havada yüksek atılıyor ve zıplamadan havada yakalanıyor” biliyoruz. O zaman madalyonun adil olduğu hipotezini kesinlikle reddetmemeliyiz (burada "adil" şimdi "yukarıda açıklanan şekilde atıldığında p = 1 / 2'ye sahip olmak" anlamına gelir), çünkü tüm olasılığı para adil olmak. Belki de 220 kafa gözlendikten sonra null'u reddetmekten rahatsız olduğumu bir dereceye kadar haklı çıkarır.

Bu sorunu çözmenin standart Bayes yolu (Normal yaklaşımlar olmadan) öncekinizi açıkça belirtmek, Beta dağıtılmış olasılığınızla birleştirmektir. Ardından posteriorunuzu yaklaşık% 50, örneğin iki standart sapma veya% 49–51 veya daha fazla istediğiniz gibi entegre edin.

Önceden inancınız [0,1] - örneğin Beta (100,100) (bu, kabaca adil madeni paralara çok fazla kütle koyar) üzerine devam ediyorsa - o zaman madalyonun adil olma olasılığı da sıfırdır [0 , 1].

Madalyonun adil olma olasılığı sıfır olsa bile, genellikle yanlılık üzerine posterior ile cevaplayacağınız herhangi bir soruyu cevaplayabilirsiniz. Örneğin, madeni para olasılıkları üzerinde posterior dağılım verildiğinde casino kenarı nedir?

Diyelim ki Bernoulli Dağılımı, bu durumda madalyonun atılması.

Açıkçası bu bir binom dağılımı ve gerçekten yakındır .$B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

Açıkçası görüşmeyi sonucu istiyor ile güven ile aralığı , ya da ve-değeri .$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

Bayes yaklaşım olarak, önceden yani yerine ve$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

ve önce biraz daha adil olalım . her aralıkta eşit dağılım gösterdiğini varsayıyoruz .$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

Daha sonra arka hesaplayabiliriz .$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

Ya da büyük olasılıkla öncekinin normal dağılım ~ ya da gibi çok daha küçük bir varyans olduğunu varsayabiliriz .$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

Sonra posterior dağılımını olarak hesaplıyoruz .$p$$f(p|k=220)$

İtibarım soruya yorum yazmam için yeterli değil. Bunun yerine, burada Madeni Paraya Önyargısızlık hakkında bir şeyler yazacağım . @Adrian

İşte sahip olduklarımız

1. Deney sonucu$B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. Teorik ve deneme çalışması Bir Madeni Paraya Ağırlık Veremezsiniz

İşte Hipotezimiz

$H_0:$ para adil veya$\hat\theta=0.5$

$H_1$ : Deneme verileri yanlış kaydedildi

İşte sonucumuz

1. Kağıt dayanarak Bir Die Yük Can, Ama Sen Önyargı bir Coin olamaz , biz hipotez kabul .$H_0$
2. standart sapmanın iki katı olduğu deney sonucuna dayanarak, hipotezini kabul etmek için kabaca% 95 güven seviyesine , deney çalışmasının yanlış kaydedildiği.$H_1$

Yana hipotez testi için-değeri ya reddetmeye veya kabaca% 5'inin altında kalması, onları hem kabul etmelidir. Ya da ikisini de reddetmeliyiz.$p$$H_0$$H_1$

Aksi takdirde burada hipotez testi için çifte standart oluşturuyoruz. Madalyonun atışının adil olduğu ve deney verilerinin doğru kaydedildiği hipotezini kabul edemeyiz .

Madalyonun kafalarda olasılık olasılığı olduğunu söylemek mantıklı değil

Bu hipotezi desteklemek için deney sonucumuz var.

Deneme n kez tekrarlanırsa , madeni para için önce n'nin oldukça büyük olduğu durumlarda atılması mümkün ?$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

Kabul edilebilirse, maksimum olasılık yöntemine göre% 95 CI ile değerini tahmin edebiliriz .$\sigma^s$