Temel bileşen analizini kullanarak verileri beyazlatma nasıl yapılır?

Verilerimi $\mathbf X$ varyanslar bir olacak ve kovaryanslar sıfır olacak şekilde dönüştürmek istiyorum (yani verileri beyazlatmak istiyorum). Ayrıca, araçlar sıfır olmalıdır.

Oraya Z standardizasyonu ve PCA-dönüşümü yaparak ulaşacağımı biliyorum, ama hangi sırayla yapmalıyım?

Kombine beyazlatma dönüşümünün biçiminde olması gerektiğini eklemeliyim $\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$.

PCA'ya benzer şekilde hem bu dönüşümleri tam olarak yapan hem de yukarıdaki formun formülünü veren bir yöntem var mı?

İlk olarak, ortalama çıkararak ortalama sıfırı elde edersiniz .$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

İkincisi, PCA yaparak kovaryansları sıfır alırsınız. Eğer verilerin kovaryans matrisidir, daha sonra PCA bir eigendecomposition gerçekleştirmek tutarındadır , burada olduğu ve özvektörlerinden oluşan dikey bir dönme matrisi , diyagonal üzerinde özdeğerleri olan bir çapraz matristir. Matrix , verilerin ilişkisini kaldırmak için gereken bir döndürme sağlar (örn. Orijinal özellikleri temel bileşenlerle eşler).Σ = U Λ U ⊤ U Σ Λ U$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Üçüncü olarak, rotasyondan sonra her bileşen karşılık gelen bir özdeğer tarafından varyansa sahip olacaktır. Yani marka için eşit sapmalar , sen karekökü ile böl gerekir  .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Hep birlikte, beyazlatma dönüşümü . Aradığınız formu almak için köşeli parantezleri açabilirsiniz.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Güncelleme. Daha fazla ayrıntı için bu sonraki konuya da bakın: ZCA beyazlatma ve PCA beyazlatma arasındaki fark nedir?