Herkes “rastgele değişkenlerin toplamı” kavramını açıklığa kavuşturabilir mi?

21

Olasılık sınıfımda "rastgele değişkenlerin toplamı" terimleri sürekli olarak kullanılmaktadır. Ancak, bunun tam olarak ne anlama geldiğini bilmiyorum?

Rastgele bir değişkenden bir grup gerçekleşmenin toplamından mı bahsediyoruz? Öyleyse, bu tek bir sayı eklemiyor mu? Rasgele değişken gerçekleşmelerinin toplamı bizi nasıl bir dağılıma veya herhangi bir tür cdf / pdf / fonksiyona götürür? Ve eğer rastgele değişken gerçekleşmeler değilse, tam olarak ne eklenir?

— Gosset
kaynak

1

'Rastgele bir değişkenin gerçekleşmesi' ile gerçek gözlemlenen değerleri kastettiğini varsayıyorum. 'Rastgele değişkenlerin toplamı' içinde toplanan, gözlemlenmeden önce rastgele değişkenlerdir. Asansöre binmek için önümüzdeki 5 kişinin ağırlığını hesapladığınızı düşünün. (Henüz) ağırlıklarını bilmiyorsunuz ve bu yüzden her biri rastgele bir değişken. Ama muhtemelen ağırlıklarının toplamının dağılımı hakkında bir şeyler bilmek istersiniz.

— PeterR

@PeterR Anlamadığım bu. Henüz değeri olmayan bir şey eklemek hakkında konuşmak nasıl mantıklı? Mecazi bir tür toplama mı?

— Gosset

1

Bence senin problemin rastgele bir değişkenin ne olduğunu anlamıyorsun. Bu kavramı alırsanız, toplam da kolayca gelir.

— Aksakal

@Aksakal Bu soruyu daha önce kanıtladığım gerçeği değil mi? Belki de biliyorsan, kavramı netleştirebilirsin?

— Gosset

Harika cevaplar verildi. Diğer bir iyi bir örnek, iki zar toplamı olan

. Sonuç açıkça rastgele (her iki kalıbın toplamının ne olacağını önceden bilmiyorsunuz).

ve bağımsız olduğunu biliyoruz .

üçgen bir dağılımı olduğu ortaya çıktı .

X + Y

$X+Y$

X, Y \sim U n i f (1, 6)

$X,Y\sim Unif(1,6)$

X + Y

$X+Y$

— bdeonovic

39

Rastgele bir değişkenin fiziksel, sezgisel bir modeli, bir veya daha fazla kağıt kâğıdı - "bilet" - bir nüfusun her üyesinin adını yazmak ve bu biletleri bir kutuya koymaktır. Kutunun içindekileri iyice karıştırma işlemi, ardından bir piyangoda olduğu gibi bir biletin körü körüne çekilmesi süreci rastgele modelleri. Tekdüze olmayan olasılıklar, kutuya değişken sayıda bilet eklenerek modellenir: daha olası üyeler için daha fazla bilet, daha az olası olanlar için daha az bilet.

Bir rastgele değişken popülasyondaki her elemanı ile bağlantılı bir sayıdır. (Bu nedenle, tutarlılık için, belirli bir üye için her biletin üzerinde aynı numara bulunmalıdır.) Birden fazla rasgele değişken, biletler üzerinde birden fazla sayı için boşluk bırakılarak modellenir. Biz genellikle gibi bu alanlarda isim vermek ve . Toplamı bu rastgele değişkenlerin olağan toplamıdır: toplamı için her bilet üzerinde yeni bir yer ayırtmak değerlerini kapalı okumak vb her bilet üzerinde ve bu yeni alanda kendi toplamını yazın. Bu, biletlere sayı yazmanın tutarlı bir yoludur, bu yüzden başka bir rastgele değişken. $X,$ $Y,$ $Z$ $X,$ $Y,$

Bu şekilde popülasyonunu ve üç rastgele değişkeni , ve temsil eden bir kutu tasvir edilmiştir . İçin üç: Altı bilet içeren o bir olasılık elde (mavi) iki, o bir olasılık elde (sarı) , ve için bir (yeşil) o bir olasılık elde $\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$ $X$ $Y$ $X+Y$ $\alpha$ $3/6$ $\beta$ $2/6$ $\gamma$ $1/6$ . Biletler üzerine yazılanları göstermek için karıştırılmadan önce gösterilir.

Bu yaklaşımın güzelliği , sorunun tüm paradoksal bölümlerinin doğru olduğu yönündedir:

rastgele değişkenlerin toplamı aslında tek, kesin bir sayıdır (nüfusun her üyesi için),
yine de bir dağıtıma yol açar (toplamın kutuda göründüğü frekanslarla verilir) ve
hala etkili bir şekilde rastgele bir süreç modelleri (çünkü biletler hala kutudan körü körüne çekiliyor).

Bu şekilde, toplamın eşzamanlı olarak belirli bir değeri olabilir (her bir biletin numaralarına uygulandığı şekliyle toplama kurallarına göre verilir) , ancak kutudan çıkarılacak bir bilet gerçekleşmesi - yapılır.

Bir kutudan bilet alma işleminin bu fiziksel modeli, teorik literatürde benimsenmiş ve örneklem uzayında (popülasyon), sigma cebirlerinde (ilişkili olasılık ölçütleriyle) ve örnek alanda tanımlanmış ölçülebilir fonksiyonlar olarak rasgele değişkenlerin tanımlarıyla titizlikle yapılmıştır. .

Rastgele değişkenlerin bu açıklaması, gerçekçi örneklerle, "Rasgele değişkenin anlamı nedir?" .

— whuber
kaynak

3

+1 örnek yayın. Umarım belirsiz soruyu önemsemezsiniz, ancak illüstrasyon ne yapıldı?

— Glen_b

4

@Glen_b PowerPoint :-). Bir kutunun görüntüsü mymiddlec.files.wordpress.com/2013/09/empty-box.jpg adresinden alınmıştır . Biletler PowerPoint grafikleri. (Bu tür sorularla ilgili belirsiz bir şey yoktur!) Bütün grubu gruplandırdım, Paint'e yapıştırdım ve bunu bir .png dosyası olarak kaydetmek için kullandım.

— whuber

Bir şey eksik ama nüfusun her bir üyesine birden fazla sayısal etiket yazıyor gibi görünüyor. Tüm alfalar X = 1, Y = 2'dir ve bu nedenle X + Y = 3'tür. X, Y ve X + Y tam olarak aynı dağılıma sahiptir, burada farklı değerlerden dolayı burada bir değerle değiştirilir

— MiloMinderbinder

1

@whuber - yazılı frekansları olmalıdır. Matematiksel jargonlarda 'altta yatan olasılık ölçüsü' demek iyi değil. nasıl olsa sürüklenmemi alıyorsun. İstediğim olasılık dağılımını vermek için biletlerde numaralarla nasıl oynayabileceğimi görmeye başlıyorum. İmtiyaz düzeyinde bu yaklaşım, farklı 'etiketler' ile bir kelime oyunu gibi görünüyordu ve bu yüzden bunu açıkça görmüyordu. Bu, bu sitede bana yardımcı olduğunuzda 50'nci kez olur. teşekkür ederim

— MiloMinderbinder

1

@Milo Rica ederim. Görüyorum ki, önceki yorumlarda verdiğim örnek yerine bu cevaptaki örneğe tepki veriyorsunuz. Cevaplama örneğinin aslında 1: 2: 3 bağıl frekanslı üç farklı bileti vardır ve bu "olasılık ölçüsü" bu durumda bu anlama gelir. Bu sadece jargon değil : altta yatan kavramlara derin bir ihtiyaç var. Bazı diğer hesaplar için , diğerlerinin yanı sıra, stats.stackexchange.com/questions/199280 adresine bakın.

— whuber

4

bu ifadenin arkasında bir sır yoktur, düşünebileceğiniz kadar basittir: X ve Y iki rastgele değişkense, toplamları X + Y'dir ve bu toplam da rastgele bir değişkendir. X_1, X_2, X_3, ..., X_n ve n rastgele değişkense, toplamları X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n'dir ve bu toplam da rastgele bir değişkendir (ve bu toplamın gerçekleştirilmesi tek bir sayı, yani n gerçekleşme toplamı).

Neden sınıftaki rastgele değişkenlerin toplamı hakkında çok konuşuyorsunuz? Bunun bir nedeni (şaşırtıcı) merkezi limit teoremidir: birçok bağımsız rasgele değişkeni toplarsak, bu toplamın dağılımını (neredeyse) toplamdaki tek değişkenlerin dağılımından bağımsız olarak "tahmin edebiliriz"! Toplam, normal dağılım olma eğilimindedir ve bu, gerçek dağılımı normal dağılımda bu kadar sık gözlemlememizin olası nedenidir.

— jolvi
kaynak

3

rv, bir olayın meydana gelmesi ile gerçek bir sayı arasındaki ilişkidir. Diyelim ki X değeri yağmur yağıyorsa 1, o zaman 0 değilse. Soğuk olduğunda 10'a, sıcakken 100'e eşit başka bir rv Y'ye sahip olabilirsiniz. Yani, yağmur yağıyor ve soğuksa X = 1, Y = 10 ve X + Y = 11 olur.

X + Y değerleri 10'dur (yağmur yağmaz); 11 (yağmur, soğuk), 100 (yağmur değil, sıcak) ve 110 (yağmur, sıcak). Olayların olasılıklarımızı anlarsanız, bu yeni rv X + Y'nin PMF'sini alırsınız.

— Aksakal
kaynak

1

$X,Y$ $X+Y$ $\Omega_1\times \Omega_2$ $X,Y$ $\Omega=\{Head,Tail\}$ $X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$ $(X+Y)$ $X,Y$ $\sigma-$ $X,Y$

— Daniel Li
kaynak