Karakteristik fonksiyonların amacı nedir?

Bir kişinin yatmadan önce karakteristik bir fonksiyonun ne olduğunu ve pratikte nasıl kullanıldığını açıklayabileceğini umuyorum. Bunun pdf'in Fourier dönüşümü olduğunu okudum, bu yüzden sanırım ne olduğunu biliyorum , ancak hala amacını anlamıyorum. Birisi amacının sezgisel bir tarifini ve belki de tipik olarak nasıl kullanıldığına dair bir örnek verebilirse, bu harika olurdu!

Sadece bir son not: Wikipedia sayfasını gördüm , fakat ne olduğunu anlamak için çok yoğun görünüyorum. Aradığım şey, bir bilgisayar bilimcisi, olasılık teorisi harikasına dalmamış birinin, bir bilgisayar bilimcisi olduğunu anlayabileceği bir açıklama.

Gündüz, insanlar sayıları daha hızlı çarpmak için logaritma tablolarını kullandılar. Bu neden? Logaritmalar, çarpımı toplamaya dönüştürür, çünkü . Böylece iki büyük sayı a ve b'yi çarpmak için logaritmalarını buldunuz, logaritmaları eklediniz, z = log ( a ) + log ( b ) ve sonra exp ( z ) ifadesini başka bir tabloya baktınız .$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

Şimdi, karakteristik fonksiyonlar olasılık dağılımları için benzer bir şey yapar. bir f dağılımına sahip olduğunu ve Y'nin bir g dağılımına sahip olduğunu ve X ve Y'nin bağımsız olduğunu varsayalım . Daha sonra dağılımı X + Y olan konvolüsyon ve f ve g , f * g .$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

Çünkü eğer Şimdi karakteristik fonksiyonu konvolüsyon için "logaritma Tablo tuzağın" bir benzerlik olduğu karakteristik fonksiyonu f , aşağıdaki ilişki geçerlidir:$\phi_f$$f$

Bundan başka, aynı zamanda logaritma durumunda olduğu gibi, bu karakteristik fonksiyonunun tersini bulmak kolaydır: verilen burada s bilinmeyen bir yoğunluk, alırız h Fourier dönüşümü, ters tarafından φ h .$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

Karakteristik fonksiyonu dönüştürür büklüm için çarpma yoğunluk fonksiyonları için logaritma dönüştürme ile aynı yol ile çarpma içine ilave numaraları için. Her iki dönüşüm de nispeten karmaşık bir işlemi nispeten basit olana dönüştürür.

@ charles.y.zheng ve @cardinal çok iyi cevaplar verdi, iki kuruş ekleyeceğim. Evet, karakteristik fonksiyon gereksiz bir komplikasyon gibi görünebilir ancak sonuçları alabilmenizi sağlayan güçlü bir araçtır. Kümülatif dağılım işlevine sahip bir şeyi kanıtlamaya çalışıyorsanız, sonucun karakteristik işlevle alınmasının mümkün olup olmadığını kontrol etmeniz her zaman önerilir. Bu bazen çok kısa kanıtlar verir.

Her ne kadar ilk önce karakteristik fonksiyon olasılık dağılımlarıyla çalışmanın sezgisel bir şekilde görünmemesine rağmen, bununla doğrudan ilişkili bazı güçlü sonuçlar vardır; bu, bu kavramı yalnızca matematiksel bir eğlence olarak atamayacağınız anlamına gelir. Örneğin, olasılık teorisindeki en sevdiğim sonuç, herhangi bir sonsuz bölünebilir dağılımın benzersiz Lévy-Khintchine temsiline sahip olmasıdır . Sınırsız bölünebilir dağılımların, bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının sınırları için (tuhaf durumlar hariç) mümkün olan tek dağılım olduğu gerçeğiyle birlikte, bu, merkezi limit teoreminin türetilmesinin kullanıldığı derin bir sonuçtur.

Karakteristik fonksiyonların amacı, olasılık teorisindeki dağılımların özelliklerini elde etmek için kullanılabilecek olmalarıdır. Bu tür türevlerle ilgilenmiyorsanız, karakteristik işlevler hakkında bilgi edinmenize gerek yoktur.

Karakteristik fonksiyon, dağılımın yoğunluk fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. Fourier dönüşümleriyle ilgili herhangi bir sezginiz varsa, bu gerçek aydınlatıcı olabilir. Fourier dönüşümleri hakkındaki ortak hikaye, 'frekans uzayda' fonksiyonunu tanımlamalarıdır. Bir olasılık yoğunluğu genellikle tekdüze olmadığından (en azından gerçek dünyada veya gerçek dünya hakkında yapılan modellerde), bu çok ilginç görünmüyor.

Fourier dönüşümü, fonksiyonlarının (periyodik olmayan) frekanslarında ayrışmasıdır. Yoğunlukların yorumlanması?

Fourier dönüşümü, Fourier serisinin sürekli sürümüdür; çünkü hiçbir yoğunluk, "karakteristik seriler" gibi bir ifade içermez.