Ekstrem değerlerin dağılımı

Bir öğe normal dağılımı izliyorsa, ortalama da normal dağılımı izler. Minimum ve maksimum ne olacak?

Sipariş istatistiklerine bir göz atmalısınız . İşte size çok kısa bir genel bakış.

Let bir iid boyutta numune olabilir dağılım fonksiyonu olan bir popülasyondan çekilen ve olasılık yoğunluk fonksiyonu . Tanımla , temsil eder numune inci sıra istatistiği , yani, inci en küçük değer.$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ eğer ve .$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Önceki denklemi entegre ederek elde ederiz

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

Özellikle, minimum ve maksimum için sırasıyla

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Genelleştirilmiş aşırı değer (GEV) dağılımını da okumak isteyebilirsiniz . Bu çıkıyor edilene , GEV'in dağılımının üç özel durumlarda bir örnek yakınsak maksimal değerinin (kaydırılır ve ölçekli) dağılımı.$n\rightarrow\infty$

Gauss'luların toplamı Gauss'tur. Bu yüzden ortalama normaldir. Gauss'luların doğrusal olmayan herhangi bir fonksiyonunun dağılımının Gausscu olması gerekmez ve genellikle değildir. Bu, maksimum fonksiyon için geçerlidir. Çok değişkenli bir Gauss'un maksimum değerine ulaşmak için Hothorn başlamak için iyi bir yerdir.