Bu bir ara sınav için pratik bir problemdir. Sorun bir EM algoritması örneğidir. (F) kısmı ile sorun yaşıyorum. Tamamlanması için (a) - (e) bölümlerini listelerim ve daha önce bir hata yapmam durumunda.
İzin Vermek X1,…,Xn oranlı bağımsız üstel rasgele değişkenler olmak θ. Ne yazık ki, gerçekX değerlere uyulmaz ve yalnızca Xdeğerler belirli aralıklarla düşer. İzin VermekG1j=1{Xj<1}, G2j=1{1<Xj<2}, ve G3j=1{Xj>2} için j=1,…,n. Gözlenen veriler(G1j,G2j,G3j).
(a) Gözlenen veri olasılığını verin:
L(θ|G)=∏j=1nPr{Xj<1}G1jPr{1<Xj<2}G2jPr{Xj>2}G3j=∏j=1n(1−e−θ)G1j(e−θ−e−2θ)G2j(e−2θ)G3j
(b) Veri olasılığının tamamını verin
L(θ|X,G)=∏j=1n(θe−θxj)G1j(θe−θxj)G2j(θe−θxj)G3j
(c) Gizli değişkenin tahmin yoğunluğunu türetmek f(xj|G,θ)
f(xj| G,θ)=fX, G(xj, g)fG,( g)=θe- θxj1 {xj∈ bölge rst G,r j= 1 }( 1 -e- θ)g1 j(e- θ-e- 2 θ)g2 j(e- 2 θ)g3 j
(d) E-adımı. İşlevi verQ ( θ ,θben)
Q(θ,θi)=EX|G,θi[logf(x|G,θ)]=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)−N2log(e−θ−e−2θ)−N3loge−2θ=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)−N2log(e−θ(1−e−θ))+2θN3=nlogθ−θ∑j=1nE[Xj|G,θi]−N1log(1−e−θ)+θN2−N2log(1−e−θ)+2θN3
nerede N1=∑nj=1g1j,N2=∑nj=1g2j,N3=∑nj=1g3j
(e) için ifadeler vermek E[Xj|Grj=1,θi] için r = 1 , 2 , 3.
Doğru olduğundan emin olduğum sonuçlarımı listeleyeceğim, ancak bu zaten soru için türevler biraz uzun olurdu:
E [Xj|G,1 j= 1 ,θben]E [Xj|G,2 j= 1 ,θben]E [Xj|G,3 j= 1 ,θben]= (11 -e-θben) (1θben-e-θben( 1 + 1 /θben) )= (1e-θben-e- 2θben) (e-θben( 1 + 1 /θben) -e- 2θben( 2 + 1 /θben) )= (1e- 2θben) (e- 2θben( 2 + 1 /θben) )
Bu, takılıp kaldı bölüm ve daha erken bir hata nedeniyle olabilir:
(f) M-Adımı. Bulθ en üst düzeye çıkarmak Q ( θ ,θben)
Toplam beklenti kanununa göre
E [Xj| G,θben]= (1θben-e-θben( 1 + 1 /θben) ) + (e-θben( 1 + 1 /θben) -e- 2θben( 2 + 1 /θben) ) + (e- 2θben( 2 + 1 /θben) )= 1 /θben onun için
Q ( θ ,θben)∂Q ( θ ,θben)∂θ= n günlüğüθ -θΣj = 1nE [Xj| G,θben] -N-1günlük( 1 -e- θ) +θN-2-N-2günlük( 1 -e- θ) +2θN-3= n günlüğüθ -θnθben-N-1günlük( 1 -e- θ) +θN-2-N-2günlük( 1 -e- θ) +2θN-3=nθ-nθben-(N-1+N-2)e- θ1 -e- θ+N-2+ 2N-3
Sonra bunu sıfıra eşitlemeli ve çözmeliyim θ, ama bunu çok uzun zamandır denedim ve çözemiyorum θ!