Rasgele değişkenlerin fonksiyonlarının olasılık dağılımı?

Bir şüphem var: gerçek değerli rastgele değişkenleri düşünün $X$ ve her ikisi de olasılık alanında tanımlanmıştır . $Z$ $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Let , burada gerçek değerli bir fonksiyondur. beri $Y:= g(X,Z)$ $g(\cdot)$ $Y$ rastgele değişkenlerin bir fonksiyonudur, rastgele bir değişkendir.

İzin Vermek $x:=X(\omega)$ yani $X$ .

Dır-dir $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ eşittir $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable

— user3285148
kaynak

İşaretiniz oldukça kısaltılmış olduğundan, dolaylı olarak bazı Borel setine atıfta bulunduğunu belirtmek faydalı olabilir.

A

$A$ , evrensel bir nicelleştiriciye tabidir ve bu nedenle sorunuzun daha eksiksiz bir şekilde görüntülenmesinin,

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber: son eşitliğiniz yalnızca

X

$X$ ve

Z

$Z$ bağımsızdır.

— Zen Zen

Tamam, sadece "durumun böyle olup olmadığını ..." düşünüyorsun.

— Zen

Eğer $g$ ölçülebilir, o zaman

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ için tutar

P_{X}

$P_X$ -AA

x

$x$ . Özellikle,

Z

$Z$ bağımsız

X

$X$ , sonra

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ için tutar

P_{X}

$P_X$ -AA

x

$x$ .

Bu, aşağıdaki genel sonuca dayanır:

Eğer $U,T$ ve $S$ rastgele değişkenlerdir ve $P_S(\cdot \mid T=t)$ şu şartların düzenli koşullu olduğunu gösterir: $S$ verilmiş $T=t$ , yani $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$ , sonra
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

İspat : Düzenli bir koşullu olasılık tanımı,

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$ ölçülebilir ve entegre edilebilir

ψ

$\psi$ . Şimdi izin ver

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$ bazı set için Borel seti

B

$B$ . Sonra

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$ ile

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$ Dan beri

B

$B$ keyfi olduğumuzu

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$ .

Şimdi izin ver $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ve kullan $(*)$ ile $U=\psi(X,Z)$ , nerede $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ ve $S=Z$ , $T=X$ . Sonra şunu not ediyoruz:

E [U | X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) | X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$ koşullu beklentinin tanımı ve dolayısıyla

(*)

$(*)$ sahibiz

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in bir | X = x) & = E [U | X = x] = \int_{R,} ψ (x, z) P_{Z} (d z | X = x) \\ = P (g (x, Z) \in bir | X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— Stefan Hansen
kaynak