Bir görüntünün 2D Fourier Dönüşümü nasıl çalışır?

Bir 1D Fourier dönüşümünün bir sinyali bileşen frekanslarına nasıl ayırdığını anlıyorum, ancak bir 2D Fourier dönüşümünün bir 2D görüntüyü nasıl etkilediğini anlamakta zorlanıyorum.

Gönderen başka bir soru , John Calsbeek bir bağlantılı gürültü fonksiyonlarının kalitesini ölçmek hakkında ilginç kağıt . Bu, çeşitli gürültü fonksiyonları ve her birinin Fourier dönüşümünü gösterdi.

Bu piksel verilerinin ayrık bir dönüşümü mü, yoksa rastgele noktalarda parazit üretmek için kullanılan sürekli enterpolasyon fonksiyonunun sürekli bir dönüşümü mü?

Halka şeklindeki şekil, hattın 1D Fourier dönüşümlerini görüntünün merkezinden mümkün olan her açıyla almaya benzer mi? Yoksa, olası her açı için dönüşüm, sadece merkezden geçen bir çizgi boyunca değil, tüm 2B alanı boyunca da ölçülüyor mu? Giriş görüntüsündeki değişikliklerin Fourier dönüşümündeki değişikliklere karşılık gelmesi için sezgisel bir fikir edinmeye çalışıyorum.

noise fourier-transform

— placozoa
kaynak

Sadece gelecekteki insanların merakları için, "başka bir soruyu" bu sorunun bağlantısı haline getirmek isteyebilirsiniz.

— porglezomp

@porglezomp bu iyi bir nokta - bitti.

— trichoplax

Bir 2D Fourier dönüşümü önce görüntünün her satırında 1D Fourier dönüşümü yapılarak, ardından sonucu alarak ve her sütunda 1D Fourier dönüşümü yapılarak gerçekleştirilir. Ya da tam tersi; önemli değil.

Nasıl bir 1D Fourier dönüşümü bir fonksiyonu çeşitli frekanslarda (1D) sinüs dalgalarının toplamına dekompoze etmenize izin verirse, 2D Fourier dönüşümü de fonksiyonu 2 boyutlu sinüs dalgalarının toplamı olarak ayrıştırır. Bu dalgaların x ve y eksenleri boyunca farklı frekansları olabilir. Genel olarak şu forma sahiptirler:

tecrübe (ben \cdot (k_{x} x + k_{y} y))

$\exp \bigl(i \cdot (k_x x + k_y y) \bigr)$

burada ve , ve eksenleri boyunca frekanslardır . Bu iki değer, dalga vektörü olarak adlandırılan bir vektör oluşturur. Uzamsal alanda, dalga, ekseni boyunca bir frekansla vektörü boyunca . $k_x$ $k_y$ $x$ $y$ $(k_x, k_y)$ $\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

1D Fourier dönüşümü gibi, hem ayrık hem de sürekli versiyonlar var. Ayrık bir 2D Fourier dönüşümünün sonucu, bir dizi ayrık değer için karmaşık genliklerin bir matrisidir . Bu genellikle (bağlandığınız kağıtta olduğu gibi) koordinatlardaki pikselin o dalga vektörünün genliğini temsil ettiği bir görüntü olarak görselleştirilir . $(k_x, k_y)$ $(k_x, k_y)$

Bu nedenle, 2D Fourier dönüşümündeki halka şeklinde bir şekil, frekansların dağılımının (yani her yöndeki dalgalar için aynı genlik), dar bir büyüklük aralığıyla (halkaların içinden dışarıya) dönme değişmezliğini gösterir. Başka bir deyişle, kağıt, gürültülerinin makul derecede izotropik ve bant sınırlı olduğunu göstermek için Fourier dönüşümünü kullanıyor.

— Nathan Reed
kaynak

Bunun denklemin uv formundan daha basit olmasını seviyorum. DFT'de bunun nasıl iyi olduğu ve neyin iyileştirilebileceği konusunda incelenecek çok şey var.

— MisterGeeky