Hidoku NP tamamlandı mı?

Hidoku, 1 ila arasında önceden doldurulmuş bazı tamsayılara sahip ızgarasıdır . Amaç, ızgarada birbirini izleyen tamsayıların (1'den ) bir yolunu bulmaktır . Daha somut olarak, ızgaranın her hücresinin 1'den kadar farklı bir tamsayı içermesi ve değerine sahip her hücrenin değerine sahip bir komşu hücresi olması gerekir (çapraz olarak da olabilir). $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

Belirli bir Hidoku'nun çözülebilir olup olmadığına karar vermek NP zor mudur? Hangi indirgeme kullanılabilir?

Düzenleme: yorumlara göre, biraz açıklama yapıyorum. Verilen bir hücre ızgarası, bazıları zaten değerler içeriyor (1'den n²'ye kadar tam sayılar). Kalan tüm hücreleri 1'den kadar tamsayılarla doldurmalıyız , böylece iki hücre aynı değere sahip olmayacak ve değerine sahip her hücrenin değerine sahip bir komşusu olacak şekilde . Yani, hücreleri doldurduktan sonra yolunu bulmalıyız . Her hücreyi mantıksal olarak ziyaret eden ızgarada. $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

Bir Hidoku woud örneği http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif olabilir . Zaten çözülmüş bir Hidoku, yönlendirdiğim yolu görebileceğiniz http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif'dir .

complexity-theory reductions np-hard

— ipsec
kaynak

Sezgisel olarak, fazla düşünmeden, ilk bakışta çoklu zaman çözülebilir geliyor. İzin verilen değerler ( ) ve köşelerde ( ) dinamik programlama gibi bir şey . zamanında çözülebilir sesler .

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Pål GD

Bu, grafik olarak eşzamanlı olarak modellenebilir, düğümleri da ardıllarsa kenarlarla birleştirebilir . Sonra bir Hamilton yolu arıyorsunuz. Göre ızgara grafikler Hamilton yolları Itai ve diğ. (1982) bu problem ızgara grafiklerinde NP-tamamlanmıştır. Bu, çapraz bağlantılara izin verdiğiniz için derhal sorununuza uymaz, ancak kötü bir şekilde bağlanır.

N

$\mathbb{N}$

— Raphael

@Raphael inşa edilen grafik bir DAG değil mi?

— Pål GD

Bunun nasıl bir DAG olduğunu anlamıyorum. Anladığım kadarıyla, girdi (yönlendirilmemiş) bir ızgara grafiğidir (çapraz kenarları da içerir) ve amaç, yoldaki bazı düğümlerin konumunun verildiği bir Hamilton yolu bulmaktır.

— George

@George Okey, soruyu bir ızgarada artan değerlerin maksimum yolunu bulmak olarak yorumladım!

— Pål GD

Yanıtlar:

Sanırım -complete: Raphael tarafından fark edildiği gibi delikli ızgara grafiklerinde Hamilton döngüsü NP-tamamlanmış ( Alon Itai, Christos H. Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Izgara Grafiklerindeki Hamilton Yolları. SIAM J Bilgisayar 11 (4): 676-686 (1982) ). $\sf{NP}$

Böylece delikli bir ızgara grafiği verildiğinde, ilk sabit hücrelerin tüm çift köşegenleri doldurduğu eşdeğer bir Hidoku oyunu kolayca oluşturabilirsiniz; boş tek köşegenler, orijinal ızgara grafiği eşdeğer yönlendirilmemiş bir grafik oluşturur ve Hidoku, yalnızca orijinal ızgara grafiğinin bir Hamilton yolu varsa, bir çözümü vardır. $G$ $G$

resim açıklamasını buraya girin

Şekil 1: delikli bir ızgara grafiği ve eşdeğer Hidoku bulmacası (mavi hücreler başlangıçtaki sabit numaralı hücreleri temsil eder ( ilk, sondur ), beyaz hücreler oyuncunun doldurması gereken hücrelerdir, mor çizgi başlangıç sabit numaralı hücrelerin sırasını gösterir). $12 \times 12$ $1$ $144$

Bir kare yapmak için alt veya sağ tarafa yardımcı (doldurulmuş) çizgiler eklenebilir.

Izgara grafiğinden Hidoku bulmacasına indirgeme için başka bir örnek: 6x4 ızgara grafiği daha büyük bir 13x13 ızgaraya yerleştirilmiştir; çift köşegenler sabit sayılarla doldurulur ve kalan boş hücreler orijinal ızgara grafiğine eşdeğerdir.

resim açıklamasını buraya girin

Dönüşümle birlikte tam resmi buradan indirebilirsiniz .

Cevabı tamamlamak için bazı ek notlar:

sorun Hidato olarak da bilinir ; tahta keyfi bir şekle sahip olabilir (ancak kare kasanın genelleştirilmesi olarak NP-sert kalır);
Steven Stadnicki'nin cevabında doğru bir şekilde kanıtlandığı gibi, ilk kısmen doldurulmuş ızgara bir tamsayı dizisi olarak verilmezse, ancak bazı özlü gösterimlerde verilirse , sorunun NP'de olduğu açık değildir ; ancak, başlangıç tahtasının makul tamsayılar listesi kullanılarak verilmesi açıkça NP'dedir; $n \times n$
Oyunun orijinal kurallarının çözümün benzersiz olması gerektiğini söylüyor ; bu yüzden sorun ABD'de (ABD'de zor) ve NP'de olma olasılığı düşük.

Özetle, eğer eşsiz çözüm kısıtlamasını düşürürsek ve tam sayı listesiyle ilk tahtayı belirtirsek , oyun komplete olur. $n^2$ $\sf{NP}$

— Vor
kaynak

Bu bir DAG değil mi? Soruyu tamamen yanlış anladım mı?

— Pål GD

@ PålGD: hayır, bunun bir DAG olduğunu düşünmüyorum, çapraz kenarları olan yönlendirilmemiş bir ızgara grafiği. Oyun kısmen doldurulmuş bir tahta ile başlar ve oyuncu 1. hücreden başlamalı ve son veya ortogonal veya çapraz adımlar yaparak sonuncusuna ulaşmalıdır (ama belki de kuralları çok iyi hatırlamıyorum ... şimdi kontrol ediyorum)

— Vor

Ancak "ardışık tamsayıların yolunu bul" yazıyor.

— Pål GD

Belki de aynı hücreyi iki kez ziyaret edemeyeceği ve tüm hücrelerin ziyaret edilmesi gerektiği anlamına gelir

— Vor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

(Benzer konuların tartışılması için, kısa bir süre sonra özlü Nurikabe'nin cstheory.SE sitesinde karmaşıklığı konusundaki soruma bakın.)

— Steven Stadnicki
kaynak

Tahta boyutunu tekli olarak belirtmemek bana mantıksız bir yorum olarak çarpıyor.

— David Eisenstat

@DavidEisenstat Mutlaka doğal yorum olmak zorunda değil , ama benim için tamamen geçerli bir yorum gibi görünüyor.

— Steven Stadnicki

@StevenStadnicki: Sana katılıyorum , cstheory.stackexchange.com'da kısa bir süre önce yayınladığım İkili Bulmaca'nun NP tamlığının kanıtında da benzer bir not aldım. Rağmen tekli temsil gerçekten makul değil :-). Cevabım üzerine bir not ekleyeceğim. Ve çözüm tekilliği sorununu da ele almalıyım; çünkü orijinal kuralların çözümün benzersiz olması gerektiğini söylediğini düşünüyorum.

— Vor