Bağımlı tip kuramında evrenler

11

Homotopy Type Theory çevrimiçi kitabında bağımlı tipler teorisi hakkında okuyorum .

Tür Teorisi bölümünün 1.3 bölümünde, Evrenlerin hiyerarşisi kavramını tanıtır : $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$ , burada

her evren $\mathcal{U}_i$ bir sonraki evren bir unsurudur $\mathcal{U}_{i+1}$ . Dahası, evrenlerimizin kümülatif olduğunu, yani evrenin tüm unsurlarının da evreninin unsurları olduğunu varsayıyoruz . $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

Yine de, ek A'daki çeşitli tipler için oluşum kurallarına baktığımda, ilk bakışta, bir evren çubuğun üstünde bir öncül olarak görünürse, aynı evren aşağıda görünür. Örneğin, ürün türü oluşturma kuralı için:

\frac{Γ ⊢ bir : U_{ben} Γ ⊢ B : U ben}{Γ ⊢ bir + B : U_{ben}} (+ - F Ö R, M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

Öyleyse sorum şu: Hiyerarşi neden gerekli? Hiyerarşide hangi koşullar altında bir evrenden diğerine atlamanız gerekir? Herhangi bir kombinasyonunu verilen nasıl Benim için gerçekten açık değildir , bir tür ile sona erebilir olduğu değil de . Daha ayrıntılı olarak: ek A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2 bölümlerindeki oluşum kuralları, $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ içinde öncül ve yargı, ya da sadece karar. $\mathcal{U}_i$

Kitap ayrıca evrenleri atamanın resmi bir yolu olduğunu ima ediyor:

Bir argümanın doğru olup olmadığı konusunda herhangi bir şüphe varsa, onu kontrol etmenin yolu, içinde görünen tüm evrenlere tutarlı bir şekilde seviyeler atamaktır.

Seviyeleri sürekli olarak atama süreci nedir?

Russell paradoksuna yol açacaktı $\mathcal{U}:\mathcal{U}$ . Russell paradoksundan kaçınmak kitapta açıkça belirtilmiştir (sayfa 24). Aynı zamanda, “Tarski tarzı evrenler” yerine “Russell tarzı evrenler” kullanan daha fazla ayrıntıya bakınız. Bu yüzden çok yüksek bir düzeyde, teorinin paradokstan kaçınmak istediğini kabul ediyorum. Ne yazık ki doğrudan bunu anlayacak bir arka planım yok. Ne bu soruda, gerçekten sadece şeylerin bazı örnekler alarak yüzeyi çizilmeye sonra ben içinde değil içinve nasıl hiyerarşileri iş için bana bir fikir vermek başka bir şey olabilir. $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
kaynak

1

@huynhjl Paradokslardan kaçınmak için evren kullanmak gerekmez, örneğin ne ZF teorisi ne de Quine'nin NF'si, iki alternatif matematiksel temel bunları kullanır. Evrenler paradokslardan kaçınmanın (ya da umarız) uygun bir yoludur, aynı zamanda çok etkileyici türler inşa etme yeteneğine sahiptir.

— Martin Berger

14

Hangi koşullar altında hiyerarşide bir evrenden diğerine atlamamız gerektiği sorusu iyi bir sorudur. Hiyerarşiye ve tırmanma yeteneğine sahip olmak önemlidir. Bir evrene bir tür olarak veya bir türün parçası olarak davranmak istediğinizde seviyeleri atlamanız gerekir. Örneğin (bağımlı olmayan) tipinin işlevlerini tanımlamak için bir evrende olduğunu göstermelisiniz. Ama bu veya daha küçük bir evren olamaz . Peki ne yapıyoruz? Sorunla başa çıkmak için (sağlam olmayan ), bir evreni zıplamalıyız. Bu sıçramayı yapmamızı sağlayan kural

bir \to U_{ben}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$ -Intro

Ek A.2.3 verilmiştir. Evren hiyerarşisinin asıl amacı bunu yapabilmemizdir. Bu, evrenlerin kendilerini içermesine güvenli bir yaklaşım olarak görülebilir.

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{ben} : U_{ben + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$

— Martin Berger
kaynak

12

Martin'in kümülatifliğin nereden geldiğini açıklamak için cevabını biraz değiştireceğim ( ve gerektirdiğini söyleyen kural ). sahip olduğumuzu ve bir tür vermek istediğimizi varsayalım . için oluşum kuralı şudur: $X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$ (varsabir kısaltmadıryukarıdaki kural için formasyon kural karşısında varılabilecek, ama bu konuda değil endişe bize bildirin.) Amacıyla için bu kuralı kullanırsanız, işlev türünün oluşumunda yer alan her iki tür de aynı evrende olmalıdır. Bizim durumumuzda Elimizdekiiçindeveyılında. Bu yüzden ilk önce

\frac{Γ ⊢ X : U_{ben} Γ ⊢ Y : U_{ben}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{ben}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$ ve

tipinin

tipinde olduğunu göstermeye devam edin .

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

Kümülatörlükten kurtulabiliriz, ancak kurallar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, 'nın oluşumu $\to$ veya

\frac{Γ ⊢ X : U_{ben} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{maksimum (ben, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

Her durumda, tip teorisinin birçok ince varyasyonu vardır ve hepsinin birlikte güzel oynamalarını sağlamak bir sanat gibi görünmektedir.

\frac{Γ ⊢ X : U_{ben} Γ ⊢ Y : U_{j} ben \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— Andrej Bauer
kaynak