İki Yineleme Çağrısı içeren Yineleme Denklemlerini Çözme

15

Aşağıdaki nüks denklemi için bir bağlı bulmaya çalışıyorum : $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

Master Teoreminin farklı alt problemler ve bölünmeler nedeniyle uygun olmadığını düşünüyorum. Ayrıca özyineleme ağaçları işe yaramıyor çünkü ya da daha ziyade . $T(1)$ $T(0)$

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— Laura
kaynak

5

Bu formun nüksetmesi durumunda, temel bir durum OLMALIDIR, tüm

için

deyin . Değilse, nüksün neyi çözeceğine dair bir söz yoktur: belki

tüm

için

, burada

orijinal sorunun büyüklüğüdür! (yinelediğiniz her şeyin orijinal öğelerin tüm alt kümeleriyle karşılaştırılmasıyla biten bir özyineleme düşünün) Başka bir deyişle: hiçbir temel durum, yinelemeyi çözmek için yeterli bilgi anlamına gelmez.

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$

n < 100

$n < 100$

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$

n < 100

$n < 100$

m

$m$

— Alex ten Brink

15

Evet, özyineleme ağaçları hala çalışıyor! Temel durumun veya veya veya hatta meydana gelmesi önemli değildir . Ayrıca temel davanın gerçek değerinin ne olduğu önemli değildir; bu değer ne olursa olsun, bir sabittir. $T(0)$ $T(1)$ $T(2)$ $T(10^{100})$

Büyük-Teta gözlüklerle bakıldığında, yeniden ortaya . $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$

Özyineleme ağacının kökü değerine sahiptir . $n^2$
Kökte , ve değerleri olan üç çocuk vardır . Bu durumda, tüm çocuk toplam değeri . $(n/2)^2$ $(n/2)^2$ $(n/3)^2$ $(11/18) n^2$
Sağlık kontrolü: Kökte dokuz torun vardır: dört değeri , dört değeri ve biri değeri . Bu değerlerin toplamı . $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
Kolay bir indüksiyon dayanıklı herhangi bir tamsayı için ima , düzeyinde düğümleri toplam değeri . $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
Seviye toplamları azalan geometrik bir seri oluşturur, bu nedenle sadece en büyük terimi önemlidir. $\ell=0$
olduğu sonucuna vardık . $T(n) = \Theta(n^2)$

— JeffE
kaynak

14

Daha genel Akra-Bazzi yöntemini kullanabilirsiniz.

Senin durumda, bulmak gerekir böyle $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

( verir ) $p \approx 1.364$

ve sonra

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

Gerçekten için çözmeniz gerekmediğini unutmayın . Bilmeniz gereken tek şey . $p$ $1 \lt p \lt 2$

Daha basit bir yöntem ve nin sınırlı olduğunu kanıtlamayı denemek olacaktır . $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— Aryabhata
kaynak

14

Let tekrarlama sağ tarafı için bir kestirme olabilir. kullanarak için bir alt ve üst sınır buluyoruz : $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

Eğer daha düşük bir saygı kullanırsak. nüksün sağ tarafı olarak üst sınır , her iki durumda da Master teoremi ile elde ederiz. Bu nedenle, tarafından sınırlandırılmış olan ve alttan ya da eşdeğer . $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

Tam bir kanıt için, artan bir işlev olduğunu kanıtlamanız gerekir . $T$

— Raphael
kaynak

bu tartışmaya sohbete devam

— Raphael

1

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— JeffE