Ana teorem uygulanamaz mı?

Aşağıdaki özyinelemeli denklem verildiğinde

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ Master teoremini uygulamak istiyoruz ve

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Şimdi ilk iki vakayı için kontrol ediyoruz $\varepsilon > 0$ ,

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ veya
$n\log n \in \Theta(n)$ .

İki dava tatmin olmamıştır. Bu yüzden üçüncü vakayı kontrol etmeliyiz,

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

Üçüncü şartın da tatmin olmadığını düşünüyorum. Ama neden? Ve bu durumda Üstat teoreminin neden uygulanamayacağına dair iyi bir açıklama ne olabilir?

— Joachim
kaynak

Wiki'deki durum 2 genel formuna bakın .

Vaka üç değil memnun çünkü

değil

herhangi biri için

. Sınır kullan l'Hôpital kuralı

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

Her iki durumun da geçerli olmadığını gösterdiğinizde, bu, ana teoremi belirtildiği gibi uygulayamayacağınızın kanıtıdır .

— Raphael

Üstat Teoremine kim ihtiyaç duyar? Özyineleme ağaçları kullanın.

— JeffE

Matematikte benzer bir soru .

— Raphael

Ana Teorem'in bahsettiğiniz üç vakası, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest ve Clifford Stein tarafından Algoritma Girişinde kanıtlanmıştır (2. Baskı, 2001).

Doğru söz konusu tekrarlanması bu Örnek 2, Örnek 3 arasında düştüğü görülmektedir $f(n) = n \log n$ daha hızlı büyüyen $n$ ama daha yavaş $n^{1+\varepsilon}$ herhangi $\varepsilon > 0$ .

Bununla birlikte teorem bu tekrarlamayı kapsayacak şekilde genelleştirilebilir. Düşünmek

Durum 2A: Bazı için $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ düşünün . $k\geq 0$

Bu durum $k = 0$ olduğunda Durum 2'ye düşer . Tekrarlama ağacının her dalı boyunca $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$ kez eklendiği sezgisel olarak açıktır . Daha resmi bir kanıt taslağını aşağıda bulabilirsiniz. Nihai sonuç şudur:

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$ .

Gelen algoritmalara giriş bu açıklama bir egzersiz olarak bırakılmıştır.

Bu ifadeyi söz konusu tekrarlamaya uygulayarak nihayet elde ederiz

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Ana Teorem hakkında daha fazla ayrıntı mükemmel (imho) Wikipedia sayfasında bulunabilir .

@Sdcvvc'in, Vaka 3'ün burada uygulanmadığını kanıtlamak için yorumlarda belirttiği gibi, L'Hospital'in şöyle diyor:

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

çevresinde farklılaşabilen $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonları için . Bu uygulama ve bir o gösterebilir $c$ $f(n) = n \log n$ $g(n) = n^{1+\varepsilon}$ $\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Durum 2A için Ana Teorem Kanıtı'nın taslağı.

Bu, Algoritmalara Giriş'ten kanıtın bazı bölümlerinin gerekli değişikliklerle çoğaltılmasıdır .

İlk önce aşağıdaki Lemmayı kanıtlıyoruz.

Lemma A:

Bir işlev düşünün

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

burada $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$ Sonra $g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Korumalı: ikame $h(n)$ için ifadeye $g(n)$ bir alabilirsiniz

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

Eğer $n$ , $b$ bir nüks verdiği kesin bir kuvvetse

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

biri olarak yeniden yazabilir

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} f (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j f(n/b^j).$

$f(n)$ $\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$ $\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

$n$ $b$

— Dmitri Chubarov
kaynak

Akra-Bazzi teoremi, ana teoremin katı bir genellemesidir. Bir bonus olarak, kanıtı başınızı döndürecek bir blizzard ;-)

$T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
kaynak