Landau terimlerinin toplamları yeniden ziyaret edildi

Aritmetikte asimtotik gösterimi kötüye kullanmanın tehlikelerini, karışık bir başarı ile ölçmeye çalışarak, daha önce Landau terimlerinin toplamları hakkında bir (tohum) sorusu sordum .

Şimdi, burada tekrarlama gurumuz JeffE esasen bunu yapıyor:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

Sonuç doğru olsa da, bunun yanlış olduğunu düşünüyorum. Neden? Zımni (sadece üst sınır) ima edilen sabitlerin varlığını eklersek,

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ .

Şimdi nasıl hesaplama yapmak den ? : Cevap biz kullanamıyoruz olduğunu düşünüyoruz tüm gitmekte olan ancak tanıtım daha olarak büyür. Onlar hakkında hiçbir şey bilmiyoruz; çok iyi bağlı olabilir sonlu: biz bağlı kabul edemeyiz böylece, olmayabilir. $c$ $c_1, \dots, c_n$ $c$ $n$ $c_i$ $n$ $c_i$ $i$ $c$

Ek olarak, hangi değişkenin sol tarafta sonsuzluğa gittiği bu ince sorun var - veya ? Her ikisi de? Eğer (uyumluluk uğruna), anlamı nedir bilerek ? Sadece demek değil mi? Öyleyse, toplamı den daha iyi sınırlayamayız . $i$ $n$ $n$ $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

Peki, bu bizi nereye bırakıyor? Bu bariz bir hata mı? İnce bir tane mi? Ya da gösterimde sadece olağan kötüye ve biz bakmak gerekir bağlam dışında bunun gibi işaretler? Landau terimlerinin toplamlarını (belirli) değerlendirmek için (titizlikle) doğru bir kural formüle edebilir miyiz? $=$

Bence asıl soru şu: nedir? Biz sabiti (o kadar düşünürsek olduğunu kolayca counterexamples inşa edebilirsiniz toplamı kapsamı içinde). Sabit değilse, nasıl okuyacağımı bilmiyorum. $i$

terminology asymptotics landau-notation

— Raphael
kaynak

Matematik üzerine bu soru, genel olarak Landau terimleriyle aritmetik hakkında iyi bir okuma.

— Raphael

Verdiğiniz bağlantıdan, eşitliğin ya bir alt küme ilişkisi ya da bir "içeride" ilişkisi (yani ) olduğu görülebilir . İçin Şuna sadece sabiti tarafından alttan ve üstten sınırlıdır söylüyorsunuz. Neden ve ?

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— user834

Bekle, Bucky. İçinde bir Theta ile herhangi bir özet yazmadım. İçinde Theta ile bir nüks yazdım. Gerçekten " " böylece "?

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE

@Raphael Hayır, yineleme matematiksel olarak toplamla aynı değil , tam olarak açıkladığınız nedenden dolayı! Nüksün tam olarak bir tane Theta terimi vardır, bu da açıkça tek bir işleve karşılık gelir.

— JeffE

Bu çok sezgisel değil - kesinlikle katılmıyorum, ama bence bu bir tat ve deneyim meselesi.

— JeffE

Yanıtlar:

Aşağıdaki sözleşmede bana doğru görünüyor:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ ,

de bir ( ) $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ .

Böylece (veya bu cevabı içinde gösterimi ile ) Alacağınız, gerçekten bağımlı olmayan . $c_i$ $c_k$ $k$

Bu yorum altında olduğu doğrudur . $S_n = \Theta(H_n)$

Aslında, Jeff'in cevabında, ' , bu yüzden yukarıdaki yorum ile tutarlı olduğunu göstermektedir. $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

Kafa karışıklığı zihinsel olarak "unrolling" ve her oluşumu için farklı fonksiyonlar varsayıyor gibi görünüyor ... $\sum$ $\Theta$

— Aryabhata
kaynak

Jup, ama her edebilirsiniz kendi işlevini ve sabit var. Bu kongre biz eğer ortamındaki tek işi yapar Yani biliyorum Landau terimleri biraz "üniforma" dan (içinde olunduğunun ve summands tanımı).

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— Raphael

@Raphael: Açmak ve sonra farklı izin vermek anlamsız görünüyor : sabitler daha sonra değişkene bağlı olacak! değişkeninin (veya yukarıdaki yanıtta ) olduğu varsayılarak yanlış kullanımı olur . Değişkenin olduğunu varsaysak bile , yine de benim için anlamsız görünüyor.

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

Prensip olarak, her kendi sabit olabilir, ancak açıkladığınız özellikle bağlamda , her açıktır yok değil kendi sabit var.

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE

@JeffE: Doğru. Sabitleri gerçekten sabit olduğu sürece kendi sabitleri ile birden fazla olabilir :-)

Θ

$\Theta$

— Aryabhata

@JeffE Peki neden sadece ne demek istediğini yazmıyorsun ama belirsiz / yanlış bir şeyi tercih ediyorsun? Güncellenmiş cevabımın şimdi bunu yapmanın bir yolunu önerdiğini unutmayın. Bununla ilgili yorumları takdir ediyorum; Sebepsiz downvotes, insanların neden benim fikrimi reddettiğini anlamama yardımcı olmaz.

— Raphael

Sanırım problemi çiviledim. Özünde: Landau terimlerini kullanmak, summand işlevinin değişkenini sum'un çalışan değişkeninden ayırır. Yine de onları aynı olarak okumak istiyoruz, bu yüzden karışıklık.

Resmi olarak geliştirmek için ne yapar

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

Gerçekten mi? Şimdi bu varsayalım izin - değil - sonsuzluğa; Biz izin eğer , bu çeşit her toplamı değerlendirir (summands bağımsız olmaları durumunda açıkça yanlıştır ve bu nedenle sabit). İşte bir şeyleri kaba olarak işlediğimiz ilk hediye: toplamın içinde bağlı (ve sabit), ama yine de sonsuza kadar gitmesine izin veriyoruz? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

Çeviri (üst sınır için alt sınır benzer şekilde çalışır), $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

Şimdi özetlenmiş- açıktır ve parametreleştirilmiş kolayca tanımlayabilirsiniz: ayrıştırıldığı kullandıkları böylece bir sabit olarak. örnekte, tanımlayabilir ve $i$ $i$ $f_i$ $i$ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

ancak orijinal toplam içindeki bir şeyi açıkça değerlendirmez . Şimdi alışverişi için de - sadece değiştirilmesidir - çünkü garip hissedebilirsiniz bağımsız değildir respin. biz de buna itiraz ediyorsanız toplamı, ama şimdi , biz kullandık asla içeride (aynı garipliği tutan gibi) ilk etapta. $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

Not biz bile o istismar etmediğini da bağlı olabilir . $f_i$ $n$

Sonuç olarak, önerilen kimlik sahte. Elbette, titiz hesaplamanın kısaltması gibi meblağların nasıl okunacağına dair sözleşmeler üzerinde anlaşabiliriz. Bununla birlikte, bu tür sözleşmeler Landau terimlerinin tanımıyla (normal kötüye kullanımıyla birlikte) uyumsuz, en azından bağlam ve yanıltıcı (yeni başlayanlar için) olmadan doğru bir şekilde anlaşılması imkansız olacaktır - ancak sonuçta bir tat meselesi (ve acımasızlık) ?).

Bana tam olarak ne demek istediğimizi de yazabildik ve hala Landau terimlerinin rahatlığından faydalanabildik. Biz biliyoruz tüm summands asimptotik sınırları aynı sabitleri kullanmak olduğunu ima, bir ortak işlevi geldiğini. bu kaybolur . Yani bize izin yok orada ve yazma koydu $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

yerine. toplamın dışına koymak $\Theta$

matematiksel olarak doğru bir ifade ve
Basit bir terim içine kolayca (Ne de olsa, burada istediğini olan?) başa çıkabilirim. $\Theta$

Doğru bir hem geliyor bana Yani ve madde aşağı yazma yararlı bir yoldur ve bu nedenle Landau sembollerini kullanarak tercih edilmelidir içeride onları ifade ederken toplamı dışında bunun.

— Raphael
kaynak

düşünün . ( sabit olarak kullanarak tanımlayabilirim , bu nedenle mantığınıza göre, değil mi? Ancak bu toplam .

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@Xodarap: birleşme nedeniyle zaman nedenden dolayı, bu gibi bir miktar çöken, iş değildir iç s (bağlanmış edilmeyen veya için) etmez anlamı değiştirmek.

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— Raphael

Onları eşleştirmiyorum , sadece gerçeğini kullanıyorum . (Ve sanırım .)

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap

@Xodarap: Ama yok olması bir , ama bir başına toplam kısmı. Altında yatan fonksiyonlar ise kullanmak , sahip (sabit faktörü gibi) de genişletmeye ve doğru olarak sona toplamı uçları için. Yani, açıkça, benim akıl yürütme ile önerdiğiniz özetleme kuralı yazarken çalışmıyor.

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— Raphael

varsa , bunların her biri (seri ilerledikçe koşuluyla). Bunlardan eklemenin toplam üreteceğini söyleyebilir misiniz ? Sabit olmak yerine onları sabit işlevler olarak tanımlamamın farkı nedir ?

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— Xodarap

-1

Her durumunda bir sabittir, o zaman, bazı vardır şekilde . Açıkça Aynı fikir az Ö. $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

Bence burada sorun . S (vardır çünkü hiçbir şekilde ), genel toplamı olacak şekilde . Ve her terim , yani toplam toplam . Bu nedenle, bu yöntemden sıkı sınırlar bulunamaz. $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$

Bence sorularınız:

Sınırlayıcı mi her bir terimin küçük o ve her bir terim sonra ile çarpılması büyük o yaparak kabul edilebilir? (Yanıt: Evet) $\sum_i^n f(i)$ $n$
Daha iyi bir yöntem var mı? (Cevap: Bildiğimden değil.)

Umarım bir başkası # 2 daha net cevap verebilir.

DÜZENLEME: Sorunuzu tekrar gözden geçirdiğinizi düşünüyorum

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$ ?

Cevabın evet olduğu. Bu durumda, her terim hiçbir şeyin değil , bu yüzden yaklaşım ayrı düşüyor. $\Theta$

DÜZENLEME 2: " düşünün , sonra " yoktur. Kesinlikle doğru. Sen öyle dersen olmayan bir sabit fonksiyondur , o zaman tanım dışı sabitten vardır. $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

Eğer bu şekilde tanımlarsanız, o Not değil , 's . Eğer "herhangi bir fonksiyonunu yerine "sabit" tanımlarsanız Nitekim ", daha sonra herhangi iki fonksiyon bir "sabit" farklılık! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

Belki de bunu düşünmenin daha kolay bir yoludur: dizisine sahibiz . Bu dizideki en küçük terim nedir? Peki, bağlı olacaktır . Dolayısıyla terimleri sabit olarak kabul edemeyiz. $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(Bilgisayar bilimcileri genellikle big-O'ya daha aşinadır, bu nedenle sabit en büyük terime sahip olup olmadığını sormak daha sezgisel olabilir .) $1,\dots,n$

sağlamak için: aralığındaki nin en küçük değeri olsun . Sonra $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

Üst sınır için benzer bir kanıt yapılabilir.

Son olarak, ve kanıt olarak . Bu aslında bir karşı dayanıklı: if daha "büyük" dir , o zaman daha "küçük" olamaz olmasını için gerekli olan minimum, . Yani olamaz . $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
kaynak

1) ".. o zaman bazı öyle ki ..." - hayır, yoktur. Düşünün ile . 2) "Bence " - 3) . O - Bu yanlış. Olarak , . 4) "(Cevap: Evet)" - bu gerçeğin resmi bir kanıtını görmediğim sürece buna inanmıyorum. Ayrıca, sergilenen durumda " çarpma " söz konusu değildir.

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— Raphael

Bence bu noktayı kaçırıyorsun. Kanıtınız işe yaramıyor çünkü her summand'da aynı olmayabilir ve hatta aynı summand için aynı olmayabilir, ancak farklı . Sanırım çiviledim; Kısa süre içinde bir cevap yazacağım.

f

$f$

n

$n$

— Raphael

Ne dediğini hala anlamıyorum, bu yüzden çözdüğüne sevindim :-)

— Xodarap