Sayma Biciklerinin Parametreli Karmaşıklığı

Önceki bir soruda , Bicliques'i Bulmak için Parametrize Algoritma , bir köşe grafiğinde biclique bulmak için hızlı parametreli algoritmalar olup olmadığını sordum ve FPT wrt ise açık olduğunu öğrendim . Aynı -bisik saymak için de geçerli mi, yoksa bunun # -hard wrt (ya da başka bir sertlik nosyonu) olduğu biliniyor mu?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Ben indüklenen -bisiklerinin sayılmasının # -hard olduğunu biliyorum, Serge Gaspers'in tezinin 4.5 .$k\times k$$W\[1\]$

Bu standart bir enterpolasyon argümanı tarafından #W [1] -hard olmalıdır. İşte kaba bir taslak.

İlk olarak, biclique probleminin çok renkli versiyonunu düşünün: köşeleri sınıflarına bölünmüş bir grafik verildiğinde , her setten tam olarak bir tepe noktası içeren bir biclique bulun. FPT durumu açık olan Biclique'in aksine, bu çok renkli versiyonun W [1] -hard olduğu biliniyor: klikten kolay bir azalma var. Ayrıca #W [1] -hard olması gerektiğine inanıyorum.$X_1,\dots, X_{2k}$

Yukarıdaki gibi bir grafik ve bölüm verildiğinde , her tepe noktasını bağımsız bir boyut kümesiyle değiştirerek (ve ve arasındaki her kenarı bir biclique ile değiştirerek) yeni bir grafiği elde edelim . Şimdi sayısı içinde bicliques bir işlevidir değişkenler . Aslında, bu fonksiyonun en fazla derecelik bir polinom olduğunu ve teriminin katsayısı tam olarak çok renkli bisikletlerin sayısıdır.$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$ . Bu nedenle, değişkenlerine yeterince çok sayıda kombinasyon ikame ederek ve deki bisiklik sayısını sayarak, enterpolasyon yoluyla katsayılarını geri kazanmak için yeterince yerde bu polinomu değerlendirebiliriz.$x_i$$G'$