Ortalama bozulma düğünleri

11

İki metrik uzay ve ve bir gömme düşünün . Geleneksel metrik uzay düğünleri , orijinalin son mesafeye en kötü durum oranı olarak kalitesini ölçer : $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Yine de başka kalite ölçütleri de vardır: Dhamdhere ve arkadaşları "ortalama" distorsiyonu araştırırlar:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Bununla birlikte, burada ilgilendiğim önlem ortalama katkı hatasına bakan MDS benzeri yöntemler tarafından kullanılan ölçüttür :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

MDS benzeri yöntemler teorik CS topluluğunun dışında kapsamlı bir şekilde incelenmesine rağmen, bu önlem altında optimizasyonu inceleyen tek bir makalenin ( Dhamdhere ve arkadaşları tarafından ) ve hatta çizgiye gömme konusundaki sınırlı problemin ( ) farkındayım. ) (yan not: Tasos Sidiropoulos'un 2005 Yüksek Lisans tezi , daha önceki çalışmaların güzel bir incelemesine sahiptir) $Y = \mathbb{R}$

İnsanların bu hata kavramı altında titiz kalite analizi konusunda farkında oldukları daha yeni çalışmalar var mı? Bu sorunlar genellikle NP zor olsa da, daha fazla ilgilendiğim her tür yaklaşımdır.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
kaynak

3

$\epsilon^2$

$O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

$\log^c(n)$

— Moritz
kaynak

bu iyi bir öneri. Kesinlikle metrik etiketleme çalışmasına bakacağım. Hatta gömmek bile MAX SNP-zor olduğu bilinmektedir, ancak daha güçlü sonuçlar görmek ilginç (hayal kırıklığı yaratıyor olsa da) ilginç olacaktır.

— Suresh Venkat

2

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

$\ell_2$

— aditya
kaynak

İyi bir nokta. Cevabımı değiştirdim.

— Moritz

ϵ

$\epsilon$

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$ . Örneğin (sabit derece) genişleticiler için böyle bir gömme elde edebilir miyiz? (ya da mümkün olmadığını kanıtlamak?)

— aditya