GF'ye göre düşük dereceli rastgele polinomların önyargısı nedir (2)?

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Derece $\le d$ ve n değişkenli rasgele polinom yazarken , olasılık 1/2 ile toplanan toplam derece \ ' nin her bir monomisini düşünebilirsiniz $\le d$.

Bildiğim tek alakalı şey, polinom sabit değilse, sapmasının en fazla 1-2 ^ {1-d} olduğunu belirten bir Schwartz-Zippel varyantıdır $1-2^{1-d}$. Bu nedenle, için $\epsilon=1-2^{1-d}$ probaiblity tam olarak $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ Bu olasılığı burada $p$ olan sabit. Ne yazık ki, bu $\epsilon$ oldukça büyük.

Ben-Eliezer, Hod ve Lovett'in "Rastgele düşük dereceli polinomları yaklaşık olarak bulmak zordur" makalesi sorunuzu cevaplıyor. Bunlar derecesi rastgele polinomların korelasyon üzerine güçlü bağlar göstermektedir en fazla derece polinom ile rastgele polinomların önyargı analiz edilerek,. Bkz kendi lemma 2: Rastgele degree- yanlılık polinom (kadar bazı lineerdir ) en az olasılık dışında, .$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

Sorunuz Reed-Muller kodlarının ağırlık dağılımındaki kuyruk sınırlarına eşdeğer. Reed-Muller kodlarının ağırlık dağılımını anlamak, kodlama teorisinde eski ve zorlayıcı bir sorudur ve bu konuda bazı ilginç sonuçlar bilinmektedir (ağırlık dağılımı sadece ve için tamamen anlaşılmıştır ). Harika bir başlangıç ​​noktası olarak, Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat ve buradaki referansların "Reed-Muller Kodlarının Ağırlık Dağılımı ve Liste Kod Çözme Boyutu" na bakınız.$d=1$$d=2$