Benzersiz Çözülebilir Bulmacanın Kapasitesi (USP)

Seminal kağıt olarak matris çarpımı Grup teorisi algoritmalar , Cohn Kleinberg, Szegedy ve nsanlar kara ve demir çözümleri tek bulmaca (aşağıda tanımlanmıştır) ve USP kapasitesinin kavramını. Coppersmith ve Winograd'ın aritmetik ilerlemeler yoluyla kendi çığır açan Matris çarpımı ile "örtük olarak" USP kapasitesinin 3/2 olduğunu kanıtladığını iddia ediyorlar . Bu iddia başka bazı yerlerde de tekrarlanmıştır (burada cstheory'de dahil), ancak hiçbir yerde bulunacak bir açıklama yoktur. Aşağıda, Coppersmith ve Winograd'ın ne kanıtladığı ve neden yeterli olmadığı konusunda kendi anlayışım var. $3/2^{2/3}$

USP kapasitesinin 3/2 mu? Varsa, ispat için bir referans var mı? $3/2^{2/3}$

Benzersiz çözülebilir bulmacalar

Bir uzunluğu olan bir çözümleri tek bir bulmaca (USP) ve genişlik bir alt oluşur boyutu da üç koleksiyon olarak düşünmek, "adet" (mukabil vektörlerin olduğu yerler, olduğu yerler ve oldukları yerler ). Tüm parçayı satırda düzenlediğimizi varsayalım . O zaman "her parça" her parçaları biri diğer parçaları koymak için benzersiz bir yolu olmalı, böylece "uygun". $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

Let genişliği bir USP maksimum uzunluğu . USP kapasitesi olan Bir USP'de, parçaların her birinin benzersiz olması gerekir - bu, iki satırın tam olarak aynı yerlerde sembolü içermediği anlamına gelir . Bu (kısa bir tartışmadan sonra) ve benzeri . $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

Örnek (uzunluk ve genişlik USP'si ): Uzunluk ve genişlik örneği , burada - ve -parçalar iki farklı şekilde düzenlenebilir: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Bakırcı-Winograd yapboz oyunları

Bir uzunluğu olan bir Coppersmith-Winograd bulmaca (CWP) ve genişlik bir alt oluşur arasında boyutu için herhangi iki -, burada "parça" benzersiz ve , (Bunu biraz farklı gösterirler.) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

Her USP bir CWP'dir (yukarıda yorumladığımız gibi), bu nedenle CWP kapasitesi tatmin eder . Yukarıda yorumladık . Coppersmith ve Winograd, karmaşık bir argüman kullanarak . Argümanları Strassen tarafından basitleştirildi (bakınız Cebirsel karmaşıklık teorisi ). Aşağıda basit bir kanıt çiziyoruz. $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

verildiğinde , her biri s, s, s içeren tüm vektörlerden oluşsun . İçin , izin tüm çiftleri oluşur bu şekilde ve . grafiğindeki her bağımsız küme bir CWP'dir. Her grafiğin bağımsız bir boyut kümesi olduğu bilinir(kanıt: her tepe noktasını olasılıkla seçin ve hayatta kalan her kenardan bir tepe noktasını kaldırın). Bizim durumumuzda, $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ Bu nedenle

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Yuval Filmus
kaynak

İlginç, ama burada bir soru var mı, yoksa bu sadece literatürdeki bir kusur iddiası mı?

— David Eppstein

Soru, USP kapasitesinin 3/2 olduğu doğru olup olmadığı ve eğer varsa, bir kanıt nerede bulunabilir.

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Yuval Filmus

Diğer birçok soru gibi, bunun cevabı Stothers'ın tezinde bulunabilir. Yerel USP, 1 parçalı, 2 parçalı ve 3 parçalı bir araya getirilebilecek tek yolun birleşimlerinin olması durumunda olduğu bir . Açıkçası yerel bir USP bir USP'dir ve [CKSU] 'dan gelen bir yapı, USP kapasitesinin yerel USP'ler tarafından elde edildiğini göstermektedir (bunu yapıcı bir şekilde göstereceğiz). $S$

Coppersmith ve Winograd , üzerinde aşağıdaki iki özelliğe sahip yaklaşık 2 bilge bağımsız bir dağıtım inşa eder : (1) , (2) herhangi bir için, 1 parçalı , 2 parçalı ve 3 parçalı birlikte bir vektör oluşturur : eğer daha sonra . $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

Bir rastgele alt kümesi tercih ve dağılımına göre ve her bir kenar için kaldırabilir iki köşe . Beklenen köşe sayısı kabaca . Ortaya çıkan kümesi yerel bir USP'dir: , 1 parçalı , 2 parçalı ve 3 parçalı parçası, bir parça oluşturur , ve böylece tamamı kaldırılır . $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Yuval Filmus
kaynak