Grup Eylemi Açısından Gauss Yok Etme

Gauss eliminasyonu, bir matrisin polinom zamanı zamanını belirleyebilir hale getirir. Aksi takdirde üstel terimlerin toplamı olan determinantın hesaplanmasındaki karmaşıklığın azalması, alternatif negatif işaretlerin varlığından kaynaklanmaktadır (eksikliği hesaplamayı kalıcı kılan $\#P\mbox{-}hard$ yani. Daha sonra $NP\mbox{-}C$ problemleri daha zordur ) . Bu, determinantta bir tür simetriye yol açar, örneğin bir çift sıra veya sütunun değiştirilmesi sadece işaretleri tersine çevirir. Bir yerlerde, muhtemelen Valiant tarafından sunulan holografik algoritmalarla bağlantılı olarak, Gauss eliminasyonunun grup eylemi açısından açıklanabileceğini okudum ve bu da karmaşıklığın azaltılmasında genel tekniklere yol açıyor.

Ayrıca, herhangi bir hesaplama problemi için neredeyse tüm karmaşıklık azaltma kaynağının bir çeşit simetri olduğunu hissediyorum. Bu doğru mu? Bunu grup teorisi açısından titizlikle resmileştirebilir miyiz?

Düzenle

Referansı buldum . (sayfa 2, ikinci paragrafın son satırı). Kağıdı doğru anlamadım, Sorumun kağıdın yanlış anlaşılmasına dayanması durumunda, lütfen beni düzeltin.

$n$$n^2$

Belirleyici simetrilerinin Gauss eleme yapmak için kullanılır, belirleyici olan simetrileri ile karakterizedir bu şekilde ispatlama boyunca - - ait Önerme 3.4.3 yılında bir yazma-up bu bulabilirsiniz benim tez (utanmaz bir öz fişi - ama Ayrıca, OP'nin istediği gibi, daha önce bu şekilde ifade edildiğini ve ayrıntılı olarak yazıldığını hiç görmedim, ancak yapıldığından eminim; Birinin başka referansları olsaydı mutlu olurum).

Simetrinin her zaman karmaşıklığın azaltılmasına (veya olmamasına) yol açtığı fikrine gelince, yorumlarda zaten bulunan şeylere ek olarak, bu soruya ve cevaplarına bakın.

İlginç bir nokta, Valiant'ın şimdi Valiant'ın cebirsel karmaşıklık teorisi versiyonu olarak bilinen ilk makalelerinde, belirleyicinin önemli bir nedenin hesaplama açısından önemli olduğu noktasını oluşturmaya çalıştığıdır. lineer cebire ve dolayısıyla determinantın hesaplanmasına indirgenmiştir, örneğin düzlemsel grafiklerde eşleşmeleri saymak için FKT algoritması. Bu elbette bir abartıdır, ancak genellikle Pfaffian'ın (determinantın yakın bir akrabası) hesaplanmasına indirgeyen holografik algoritmalar üzerinde yapılan araştırmalarla ortaya çıkmaya devam etmektedir. Şüphesiz Valiant bunun bir abartı olduğunu biliyordu, ama burada yanlış beyanda bulunmadığımdan emin olmak için kesin alıntı ( L. Valiant. Cebirdeki tamlık sınıfları. ACM STOC 1979 ):

Ana sonuçlarımız kabaca şu şekilde özetlenebilir:

(a) Doğrusal cebir, orta dereceli çok değişkenli polinomları hesaplamak için temel olarak tek hızlı tekniği sunar

(b) ...

Bir problemin simetrisinin karmaşıklığını karakterize ettiği (göründüğü) durumlar vardır. Çok ilginç bir örnek, kısıtlama memnuniyeti problemleridir (CSP'ler).

CSP'un tanımı

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

Polimorfizmlerinin

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

Örneğin doğrusal denklem sistemleri için bir polimorfizm . olduğuna dikkat edin . Bir o tatmin bu tesiste Maltsev operasyonu olarak bilinir. Maltsev polimorfizmi olan CSP'ler Gauss eliminasyonu ile çözülebilir.f ( x , x , y ) = f ( y , x , x ) = y $f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

Öte yandan, 3 değişmezlikteki diseksiyonlarda sadece polimorfizm olarak diktatörler vardır, yani tipindeki fonksiyonlar .$f(x, y) = x$

Polimorfizmler ve Karmaşıklık (ikilik varsayımı)

Aslında polimorfizmlerin hesaplamalı etkileri vardır: Eğer bir CSP tüm polimorfizmlerini kabul , , indirgenebilen polinom . Bu, başka bir CSP "daha az simetrik" olan bir CSP aslında daha zor olduğunu resmen söylemenin bir yoludur .Γ 2 Γ 1 Γ 2 Γ 2 Γ $\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

Karmaşıklık teorisindeki önemli bir açık sorun CSP'lerin sertliğini karakterize etmektir. Feder ve Vardi'nin ikilik varsayımı, herhangi bir CSP'nin P veya NP-tam olduğunu belirtir. Tahmin, polimorfizmlerle ilgili bir açıklamaya indirgenebilir: Bir CSP, ancak kabul ettiği tek polimorfizmler "diktatörler" ise (aksi takdirde P'de) NP zordur. Yani bir CSP sadece eski çözümlerden gerçek yeni çözümler oluşturmak için yerel bir yol yoksa zordur. İf parçası (sertlik) bilinir, ancak yalnızca parça (çoklu zaman algoritması tasarlama) açıksa.

Bununla birlikte, bir ikilik yaptığımız önemli bir durum boole CSP'leri (burada ). Schaefer teoremine göre , 6 polimorfizmden birini kabul ederse, boole CSP P'dir, aksi takdirde NP tamdır. Altı polimorfizm temel olarak problemi gauss yok etme veya yayılma (örneğin boynuz-sat ile yaptığınız gibi) veya önemsiz bir görevle çözmek için ihtiyaç duyduğunuz şeydir.$U = \{0, 1\}$

Polimorfizm, evrensel cebir ve ikilik varsayımı hakkında daha fazla bilgi edinmek için Bulatov'un anketine bakabilirsiniz .

Polimorfizmler ve Yaklaşabilirlik

Ayrıca Prasad Raghavendra'nın sonucunu koyduğu bir IAS dersini öneriyorumbenzer oyun varsayımını benzersiz bir çerçeve içinde varsayarak herhangi bir CSP'ye optimum yakınlık kazandırmak. Yüksek düzeyde, bir CSP'nin tüm polimorfizmleri (bu, yaklaşık problemleri ele almak için genelleştirilmesi gerekir) diktatörlere yakınsa, bir fonksiyonun diktatör olup olmadığını test etmenin bir yolunu tasarlamak için CSP kullanılabilir ve bu da Eşsiz oyunlardan yaklaşık bir azaltma sertliği sağlamak için ihtiyacınız olan her şey olun. Bu, sonucunun sertlik yönünü verir; algoritmik yön, bir CSP'nin diktatörden uzak bir polimorfizme sahip olması durumunda, bir SDP yuvarlama algoritmasının iyi bir yaklaşım verdiğini iddia etmek için bir değişmezlik ilkesini (merkezi limit teoremlerinin genelleştirilmesi) kullanabilmesidir. Algoritmik kısım için gerçekten kabataslak bir sezgi: diktatörden uzak bir polimorfizm yok ' t Değişken atamalarına yerel olarak yaklaşan değişken atamaları veya gauss rasgele değişkenler olarak verilip verilmediğine dikkat edin. Bu, bir toplama fonksiyonunun merkezi limit teoremi ile küçük varyanslı veya aynı varyansa sahip gauss rv'lerine ait ayrı rasgele değişkenler verildiğinde "umursamaması" ile aynıdır. İhtiyacımız olan gauss rasgele değişkenler, CSP sorununun SDP gevşemesinden hesaplanabilir. Bu yüzden bir diktatörden uzak bir polimorfizm buluyoruz, gaussian örnekleri besliyoruz ve iyi bir çözüm elde ediyoruz. merkezi limit teoremi ile küçük varyanslı ayrı rasgele değişkenler veya aynı varyansa sahip gauss rv'leri verilirse. İhtiyacımız olan gauss rasgele değişkenler, CSP sorununun SDP gevşemesinden hesaplanabilir. Bu yüzden bir diktatörden uzak bir polimorfizm buluyoruz, gaussian örnekleri besliyoruz ve iyi bir çözüm elde ediyoruz. merkezi limit teoremi ile küçük varyanslı ayrı rasgele değişkenler veya aynı varyansa sahip gauss rv'leri verilirse. İhtiyacımız olan gauss rasgele değişkenler, CSP sorununun SDP gevşemesinden hesaplanabilir. Bu yüzden bir diktatörden uzak bir polimorfizm buluyoruz, gaussian örnekleri besliyoruz ve iyi bir çözüm elde ediyoruz.