Simetrik grubun temsil teorisi uygulamaları

42

Bu sorudan ve özellikle de Cevabın cevabının son paragrafından ilham alarak aşağıdaki sorum var:

Simetrik grubun temsil teorisinin TCS'deki uygulamalarını biliyor musunuz?

Simetrik grup , grup işlem bileşimi ile birlikte tüm permütasyonların grubudur. temsili, genel karmaşık matrislerin lineer grubuna homomorfizmdir . Bir temsil matris çarpımıyla hareket eder. indirgenemez bir temsili, değişkeni için uygun bir alt alt alan bir eylemdir . Sonlu grupların indirgenemez gösterimleri, abelyan olmayan gruplar üzerinde bir Fourier dönüşümü tanımlamasına izin verir $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . Bu Fourier dönüşümü, ayrık Fourier dönüşümünün döngüsel / abelyan gruplar üzerindeki güzel özelliklerinden bazılarını paylaşır. Örneğin, evrişim Fourier bazında noktadan çarpma haline gelir.

Simetrik grubunun temsili teorisi güzel birleştirici olan. Her indirgenemez temsil arasında bir tam sayı bölümü karşılık gelen . Bu yapı ve / veya simetrik grup üzerindeki Fourier dönüşümü TCS'de herhangi bir uygulama buldu mu? $S_n$ $n$

— Sasho Nikolov
kaynak

ayrıca bkz simetrik grubun uygulamaları , wikipedia

— vzn

hepsi çok ilginç cevaplar. kabul etmek için birini seçmekte zorlanacağım.

— Sasho Nikolov 23:12

terbiyeli tamamen teorik giriş / genel bakış, Young Tableaux ve Simetrik Grubun Temsilleri, Zhao

— vzn

2

Bu yazı sadece quant-ph arXiv'i vurdu: Simetrik grubun Janis Noetzel'in temsil teorisini kullanarak iki taraf tipikliğine bir çözüm.

— Tyson Williams

Egner ve Puschel tarafından simetriye Dayalı Matris faktörü , etkin matris / ayrıştırma / çarpma için elemanlarını ve gösterim teorisini kullanır . Perm-Perm simetrisi hakkında S3.2'ye bakınız.

S_{n}

$S_n$

— vzn

27

İşte birkaç başka örnek.

Diaconis ve Shahshahani (1981), neredeyse homojen bir permütasyon oluşturmak için kaç rastgele transpozisyonun gerekli olduğunu inceledi. 1/2 n log (n) +/- O (n) keskin eşik olduğunu kanıtladılar. Rastgele Yerleşimlerle Rastgele Permütasyon Oluşturma .
Kassabov (2005), simetrik bir grupta sınırlı dereceli bir genişletici oluşturabileceğini kanıtlamıştır. Simetrik Gruplar ve Genişletici Grafikler .
Kuperberg, Lovett ve Peled (2012), k-troller üzerinde eşit bir şekilde hareket eden küçük permütasyon setlerinin bulunduğunu kanıtladı. Rijit kombinatoryal yapıların olasılıksal varlığı .

— Shachar Lovett
kaynak

3

Teşekkürler Shachar ve cstheory'e hoş geldiniz! Bağlantılarını düzeltme özgürlüğünü kullandım: biraz uyumsuzlardı

— Sasho Nikolov

14

Çok güzel bir soru. Tam cevabı bilmiyorum ve kendim bilmek istiyorum. Ancak, aşağıdakileri ilginç bulabilirsiniz. grubu yerine 0-Hecke monoid olduğunu , tropikal -multiplication ile etki eden belirli bir tamsayı matris sınıfında bir temsili vardır . Bu, telgraf benzeri grafiklerdeki çok kaynaklı en kısa yollar yoluyla dizeolojide birçok ilginç uygulamaya sahiptir. Ayrıntılar için teknik raporuma bakın: $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. Tiskin. Yarı-yerel dizi karşılaştırması: Algoritmik teknikler ve uygulamalar. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— Alexander Tiskin
kaynak

Teşekkür ederim! Bu çok ilginç görünüyor ve kesinlikle kontrol edeceğim.

— Sasho Nikolov

14

İşte bildiğim bir örnek:

`` İletişim Karmaşıklığındaki 'Günlük Sıralaması' Konusunda " , R.Raz, B.Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

Orada daha çok olduğuna inanıyorum.

— Klim
kaynak

3

Temsil modelinin ne olduğunu ve nasıl uygulandığını özetler misiniz?

— Vijay D

@VijayD muhtemelen Klim daha fazlasını bilir, ancak buradaki sorun işlevinin iletişim karmaşıklığının nasıl olduğudur sıralamasının günlüğü ile ilgilidir ( gerçek matris olarak düşünülmesi ). ve CC rütbesinden bir oluştururlar . rütbesi,

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho Nikolov

Aslında bir süre önce bu makaleyi okudum, bu yüzden şimdi tam olarak hatırlamıyorum.

— Klim

11

İşte kuantum hesaplamalardan bir örnek:

Roland, Jeremie; Roetteler, Martin; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "Kuantum Devlet Üretimi için Simetri Yardımlı Düşmanlar", 2011 IEEE 26. Yıllık Hesaplamalı Karmaşıklık Konferansı, CCC '11, IEEE Computer Society, s. 167–177, doi: 10.1109 / CCC. 2.011,24

Kuantum ters yöntemine takılmak için optimal bir ters matris oluşturmak üzere, Simetrik Grubun gösterim teorisini kullanarak , Dizin Silme adı verilen belirli bir sorunun kuantum sorgu karmaşıklığının . $\Omega(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
kaynak

10

Knuth 3. Bilgisayar Programı Sanatının hacmi , simetrik grubun temsil teorisinde merkezi olan Robinson-Schensted-Knuth yazışmalarına ve birleştiricilere ve permütasyonlara çok fazla araştırma ve ayırma ve ayırmaya adanmıştır .
Üzerinde harmonik analiz kullanarak extremal kombinatoryal sorunları çözmek Ellis-Friedgut-Pilpel ve Ellis-Friedgut-Filmus tarafından çeşitli makaleler mevcuttur . Tam olarak TCS değil, çok yakın. $S_n$
Ajtai, 90'ların başında hesaplamalı karmaşıklık soruları tarafından motive edilen modüler gösterimi üzerine harika sonuçlar elde etti . Ayrıntıları ya da yayınlandığını hatırlamıyorum, ama buna değmez! $S_n$

— Gil Kalai
kaynak

Sağol Gil! Ajtaj'ın aklınızdaki yazılarından birinin bu olduğuna inanıyorum: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html . Uygulama güvercin deliği ilkesinin ispat karmaşıklığına göre olduğunu düşünüyorum, ancak henüz bağlantıyı tam olarak anlamadım.

— Sasho Nikolov

6

Simetrik Grup Moore, Russell, Schulman'dan Güçlü Fourier Örneklemesine Meydan Okuyor

"Simetrik grup üzerindeki gizli alt grup probleminin güçlü Fourier örneklemesi ile etkin bir şekilde çözülemediğini gösteriyoruz ... Bu sonuçlar Graph Isomorphism problemi ile ilgili özel durum için geçerli."

Graph Isomorphism problemini QM yaklaşımları ile çözme bağlantısı

sec 5 Simetrik grubun temsil teorisi

— vzn
kaynak

5

Bilgisayar bilimlerinden daha fazla istatistik, ancak yine de ilginç: Diaconis'in ' Olasılık ve İstatistikte Grup Öngörülerine İlişkin Monografisi'nin 8. bölümünde , grubu ile ilişkili veriler için spektral analiz teknikleri geliştirildi. Bu, doğal gerçekler veya ilave edilen tamsayılar olduğu zaman serisi verilerinin daha klasik spektral analizini genişletir . Bu almaya anlamda yapar olmak veri sıralamasında tarafından verildiğinde. Monograf, Fourier sıralama verisi katsayılarını yorumlamaya gider. Bu durumda, veri seti az miktarda $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ hangi sıralamayı (bir permütasyonla verilen) sıralamayı tercih eden nüfusun payına eşler.

Aynı bölümde, ANOVA modellerini ve testlerini elde etmek için simetrik ve diğer gruplar üzerinde Fourier analizi kullanılmıştır.

Bunun doğal bir uzantısı, temsil teorisi tekniklerinden yararlanan ve tekdüze dağılım altında ikili sınıflandırma için öğrenme teorisine benzer şekilde öğrenme teorisine benzer şekilde problemleri sıralama için istatistiksel öğrenme teorisi olacaktır.

— Sasho Nikolov
kaynak

Yine de sıralama problemleri için doğal grup yapısı nedir?

— Suresh Venkat 24:12

1

@ Suresh Ben simetrik grubu aklımdaydı, ama son paragrafım her şeyden çok daha arzulu bir düşünce. Sıralamalarda cunta benzeri bir problem vardı: işlevini öğrenmek , birkaç örnekten sadece birkaç öğenin ' in göreceli . Belki fourier teknikleri önemsiz olmayan örnek sınırlar verebilir

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov

5

Simetrik grubun temsil teorisi, Geometrik Karmaşıklık Teorisi yaklaşımında determinant veya matris çarpımı üzerindeki sınırları düşürmede kilit bir rol oynar.

Bürgisser ve , temsil teorisini kullanarak matris çarpımının sınır rütbesinde daha düşük bir sınır olduğunu . $S_n$
temsil teorisinin determinant üzerindeki alt sınırlarla nasıl ilişkili olduğu için, bkz. Geometrik Karmaşıklık Teorisi II: Sınıf Çeşitleri ve Geometrik Karmaşıklık Teorisi için Açık Engellere Doğru VI: Pozitif $S_n$

— Joshua Grochow
kaynak

4

Huangs Doktora tezi, PROBABİLİSTİK NEDENLEME VE İZİN VERME ÖĞRENİMİ: simetrik grubun yapısal ayrıştırmalarını kullanmak . uygulama "gerçek kamera tabanlı çok kişili bir izleme senaryosudur."
Fourier Teorik Huang, Guestrin, Guibas'dan Permütasyonlar Üzerine Olasılıksal Çıkarım ; Makine Öğrenimi Araştırmaları Dergisi 10 (2009) 997-1070. bkz. örneğin, s 5. Simetrik Grupta Temsil Kuramı
başka bir çoklu izlemeli uygulama kağıdı. Simetrik grubun (2007) temsil ettiği çoklu nesne takibi, Kondor, Howard, Jebara
Fourier Katsayıları, Irurozki, Calvo, Lozano (Dept CS / AI) Tarafından Permütasyonlar Üzerindeki Olasılık Dağılımlarının Öğrenilmesi. bkz. sn 2 Simetrik Gruptaki Fourier Dönüşümü

— vzn
kaynak

1

Bu cevabı diğer öğrenme izinleri referansı ile birleştirmenizi öneririm

— Sasho Nikolov

Tamam ... birleştirilmesi ...

— vzn

ayrıca bkz Kısmi Sıralaması Verilerin Fourier Analizi Faz Spectrum Yorumlama ve aşamasının önemini: sıralamasında verilerin Fourier analizine bir sinyal işleme yaklaşımı Diaconis tarafından çok daha erken işi uzatmak gibi görünüyor Kakarala tarafından

— vzn

-1

Simetrik Grupların Temsil Teorisinin Klin ve Pech İle Grafiklerin Kromatik Polinomlarının Hesaplanmasında Uygulanması

— vzn
kaynak

ps uygulaması - grafik boyama

— vzn 25:12

-2

Beals tarafından yayınlanan bu son derece alıntı makale, 1997, STOC, simetrik gruplar üzerinde Fourier dönüşümlerinin Quantum hesaplamasının BQP'de yani kuantum polinom zamanında olduğunu kanıtlıyor gibi görünüyor.

— vzn
kaynak

2

yine bu, atıfta bulunduğunuz diğer kuantum kağıdı ile gider. Abelili olmayan Fourier dönüşümünü geliştirmenin temel motivasyonu, simetrik grup üzerindeki gizli alt grup problemini çözmek için kullanmaktı. Aldığınız diğer makale bu yaklaşımın sorunu çözmediğini göstermektedir.

— Sasho Nikolov

Açıkçası btw: Yukarıdaki yorum ile ne demek istediğim, bu cevabı diğer QM cevabı ile birleştirmeyi önermek ve ikisinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu açıklamaktır (çünkü onlar)

— Sasho Nikolov

ok Moore ve ark., Beals gazetesini böyle bulmamama rağmen, Beals'tan alıntı yaptılar. daha sonra birleşebilir, ancak şu anda bazı izleyiciler bunun gibi gözükmüyor gibi gözüküyor Her ne sebeple olursa olsun (eski, yerini almış vs…?) bu Beals ref

— 06'da

Emin değilim, bunun iyi bir referans olduğunu düşünüyorum. Benim için bir sorun, Abelian olmayan fourier dönüşümünü hesaplayabilmenin neden önemli olduğunu, nasıl motive edildiğini açıklamamanız.

— Sasho Nikolov

1

Cevapların kendi başlarına durup durmamasını ve okuyucunun tüm makaleyi okuyup okumamaya karar verebilecek kadar ipucu vermesini tercih ederim. Cevabın, malzemenin yüzeysel anlayışından daha fazlasını göstermesini istiyorum.

— Sasho Nikolov

-5

Daha eski bir örnek, ancak halen devam etmekte olan / devam eden araştırmalarda, bu teorinin bazıları simetrik grubun bir öğesi olarak görülen ve o zamanlar ünlü bir keşif olan "mükemmel karıştırmanın" matematiğinde ortaya çıkıyor . [1], kusursuz işleme uygulamalarının paralel işlem algoritmalarına ve ayrıca Cooley-Tukey O (n log n) DFT'ye bağlanmasına değinmektedir. [2] daha yeni. mükemmel karıştırma, paralel işlemede [3], bellek tasarımında ve sıralama ağlarında görülür.

[1] Diaconis, Graham, Cantor tarafından hazırlanan mükemmel karıştırmanın matematiği . 1983

[2] Çok yollu mükemmel karıştırma permütasyonunun çevrimleri, Ellis, Fan, Shallit (2002) tarafından yapıldı.

[3] Stone, 1971’de kusursuz karıştırma ile paralel işleme

[4] Mükemmel karıştırmaya dayanan Omega ağı

[5] Paralel ve sıralı yerinde izin ve içeriklerini kullanarak mükemmel karıştırma; Yang et al (2012)

— vzn
kaynak

1

Temsil teorisi bu makalelerde kullanılıyor mu?

— Sasho Nikolov 23:12

bunun özel bir durum olarak görünmektedir

— vzn

2

Özel bir durum nedir? Mükemmel karıştırma bir permütasyondur. Soruyorum, bu belgelerde ispatlarda kullanılan temsil teorisi mi? hiç bulamadım.

— Sasho Nikolov 24:12

3

Aksi takdirde, (kusurlu) karıştırmanın olası modelleri vardır ve bu modellerden birini kullanarak tekrarlanan karıştırmanın permütasyonlar üzerinde rastgele bir yürüyüşte olması. bazen simetrik grup üzerinde fourier analizi kullanılarak böyle bir rastgele yürüyüşün karıştırma süresi analiz edilebilir: Shachar, rastgele transpozpoze karışıklığına bir örnek verdi. referanslarınız ilginç, ancak temsil teorisi ile bir bağlantı göremiyorum: yazılar birkaç ([1] 'de iki tane) deterministik karışıklıkla ve ürettikleri permütasyon gruplarıyla ilgilidir. analizin birleşimsel olduğu görülüyor

— Sasho Nikolov

kusurlu karışma da ilginç ama cevabın tüm pt mükemmel karışma. görünüşe göre aynı sonuçlar, temsil teorisi ile yeniden ortaya çıkmış ya da kanıtlanmış olabilir ya da bunun açıkça / doğrudan referansı olmadan bazı temel yönlerini kullanıyor olabilir. Not shachars cevabı, bu cevabın yazılarından birinde aynı yazar olan Diaconis'e atıfta bulunur. Başka bir deyişle, yukarıdaki yazarlar kesinlikle sorunuza daha iyi cevap verebilirler ama benim beklentim, en azından bir şekilde olumlu cevap vermeleri:

— vzn