Büyük olasılıkla trewidth ile ilişkili bir grafik parametresi

Aşağıdaki süreçte üretilebilen $n$ köşelerdeki grafiklerle ilgileniyorum .

1. Rasgele bir grafik ile başlayın $G$ ile $k\le n$ köşe. Tüm köşe etiketleyin $G$ olarak kullanılmayan .
2. Yeni bir grafik üretmek $G'$ yeni tepe noktası ekleyerek $v$ bir veya daha fazla bağlı olan, kullanılmayan bir köşe $G$ ve herhangi bir bağlı olmayan ikinci bir köşe $G$ . Etiket $v$ olarak kullanılmayan .
3. Bir köşe Etiket bir $G'$ hangi $v$ olarak bağlı kullanılır .
4. Ayar $G$ için $G'$ ve kadar basamak 2'den elde edilen tekrar $G$ içeren $n$ köşe.

Bu tür grafikleri "karmaşıklık grafikleri $k$" olarak adlandırın (belirsiz terminoloji için özür dileriz). Örneğin, $G$ karmaşıklık 1'in bir grafiğiyse, $G$ bir yoldur.

Bu sürecin daha önce incelenip incelenmediğini bilmek istiyorum. Özellikle, keyfi $k$ , bir grafiğin karmaşıklığına sahip olup olmadığını belirlemek NP-tam mıdır $k$?

Bu sorun olup olmadığı sorusuna biraz benzer görünen $G$ a, kısmi $k$ -ağacı , yani var treewidth $k$ . $G$ t genişliğine sahip olup olmadığının belirlenmesinin $k$NP-tamamlanmış olduğu bilinmektedir . Bununla birlikte, bazı grafikler (örneğin yıldızlar), burada tartışılan karmaşıklık ölçüsünden çok daha küçük trewthth değerine sahip olabilir.

4 Ekim 2012: Soru , bir hafta sonra kesin bir cevap verildikten sonra MathOverflow'a çapraz olarak gönderildi (nedensel akışlar hakkında bilgi için teşekkürler).

Daha önce bizzat bu konuda konuşmuş olsak da, bunu bir başkasının tam bir cevap vermesine izin vereceğini umuyorum.

Köşe ekleme için bir işlemde, bir kısmi işlevi tanımlayan , her köşe den v zaman ilave edildi tepe için kullanılan alır hac alıştı. Daha sonra ortaya çıktı f a, (nedensel) akış fonksiyonu bir yol kapağın kısıtlı versiyonu olan, (s. 39). Gerçekten de, bu "karmaşıklık k " grafiklerinin açıklamanız ( başlangıçta kullanılmayan köşeler ve nihai kullanılmayan köşeler olacak bir dizi köşe verilmiş olarak verilmiştir), tam olarak nedensel akışlı bir "geometrinin" yıldız ayrışmasıdır (p. Yukarıdaki makalenin 46. maddesi).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Her ne kadar bu "nedensel akışlar" temel olarak (ölçüm tabanlı) kuantum hesaplama bağlamında - üniter devrelerin belirli yapıları tarafından motive edildikleri bağlamında - incelenmiş olsalar da, bunlar hakkında kuantum hesaplamadan tamamen boşaltılan grafik-teorik sonuçlar vardır:

Teklik modulo uç noktaları : "karmaşıklığı  "olan grafikler, tam olarak var olan (muhtemelen kesişen) kümelerdir, her ikisi de k boyutunda S , T ⊆ V ( G ) kümeleri, böylece G ,yolları k olantam olarak bir yol örtüsüne sahip olacak S ilebaşlayınve T ile bitirin.$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

$n$$k$$kn - \binom{k+1}{2}$

Bu sonuçları kullanarak ve aday bir çift seti verildiğinde zamanında bu şekilde benzersiz bir yol örtüsünün "gönderilip gönderilmediğini" belirleyebilirler ; ancak bariz zorluk olan bu tür uç nokta kümelerinin var olup olmadığını bulmak ve yukarıdaki aşırı sonuç (bu sadece gerekli bir koşuldur), bu tür grupların var olup olmadığını belirlemek için teknolojinin durumunu etkin kriterlerle temsil ediyor gibi görünmektedir.O ( k 2 n $S,T$$O(k^2 n)$

Tüm karmaşıklık grafikleri en fazla yol genişliğine sahiptir . Her adımda kullanılmayan düğümler kümesi, kullanılan düğümleri önceden oluşturulmuş olanlardan ayıran bir ayırıcıdır. Böylece her adımda, bir tepe noktası eklediğinizde, o tepe noktasını ve kullanılmayan tüm köşeleri içeren bir çanta oluşturabilir ve çantayı yol ayrışmasının sonuna bağlayabilirsiniz. Bu geçerli bir yol ayrışması olacaktır.$k$$k$

Ve "bu nedenle alanına 3 ve 2 olarak bağlanır" yol genişliği daha küçük olabilir . bir karmaşıklık olup olmadığına karar vermekten emin değilim , ancak Niel'ın dediği gibi, k boyutunda bir yol örtüsü olmalı, ancak sadece bir yol örtüsü değil, yolların uyarılması gerekiyor. Ve yollar arasında bu zikzak desenine sahip olabiliriz. Biz can içinde zaman optimal yol ayrışma hesaplamak, o zaman bu farklı kesimleri takip ederken dinamik programlama yapmak için bu ayrışma kullanabilirsinizk G k f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$yollar, hangi yola ait oldukları ve aynı yola ait segmentlerin sırası. Ve farklı yollara ait her bir segment çifti için sadece zig-zag'ın ilk ve son yolunu bilmemiz gerekir.

Bu yüzden bir grafik karmaşıklığı varsa biz karar verebilirim içinde süresi.f ( k ) ⋅ p o l y ( n $k$$f(k) \cdot poly(n)$