Polinom-zaman sertliği sonuçlarını göstermek için kullanılabilecek problemler

58

Yeni bir problem için bir algoritma tasarlarken, bir süre sonra bir polinom zaman algoritması bulamazsam, bunun yerine NP zor olduğunu kanıtlamaya çalışabilirim. Eğer başarılı olursam, neden polinom zaman algoritmasını bulamadığımı açıkladım. P! = NP olduğunu kesin olarak bilmiyorum, sadece şu anki bilgilerle yapılabilecek en iyi şey bu, ve aslında fikir birliği P! = NP.

Benzer şekilde, bazı sorunu için polinom zamanlı çözüm buldum söylüyorlar ama çalışma süresi olan $O(n^2)$ . Çok çaba sarf ettikten sonra, bunun iyileştirilmesi konusunda ilerleme kaydetmiyorum. Öyleyse, bunun yerine 3SUM zor olduğunu kanıtlamaya çalışabilirim. Bu genellikle tatmin edici bir durumdur, 3SUM'un gerçekten zamanı gerektirdiğine dair yüce inancım nedeniyle değil , ama bu sanatın şu anki hali olduğundan ve birçok akıllı insanın geliştirmeye çalıştığı için o ve başarısız oldu. Yani benim yapabileceğim en iyi şey benim suçum değil. $\Theta(n^2)$

Bu gibi durumlarda, yapabileceğimiz en iyi şey, asıl bir alt sınır yerine bir sertlik sonucudur, çünkü Turing Makineleri için NP'deki problemler için herhangi bir süper doğrusal alt sınır yoktur.

Tüm polinom çalışma süreleri için kullanılabilecek tek tip bir sorun var mı? Örneğin, bir problemin den daha iyi bir algoritmasına sahip olma ihtimalinin düşük olduğunu ispatlamak istersem , X'in zor olduğunu gösterip bırakabileceğim bir problem var mı? $O(n^7)$

Güncelleme : Bu soru aslında sorunlu aileleri istedi. Pek çok sorun ailesi olmadığından ve bu soru zaten bireysel zor sorunların mükemmel örneklerini aldığından, bu soruyu polinom-zaman sertliği sonuçları için kullanılabilecek herhangi bir soruna gevşetiyorum. Ayrıca daha fazla cevabı teşvik etmek için bu soruya bir ödül ekliyorum.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Robin Kothari
kaynak

5

Maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html sayfası, 3SUM'un düşük (ve üst) sınırları ve ilgili problemlerle ilgili bazı sonuçları özetlemektedir ve okumaya değer.

— Tsuyoshi Ito

2

Süper doğrusal alt sınırların yokluğu, en az iki bantlı bir TM içindir, değil mi? Tek bantlı bir TM üzerindeki bir palindromu kontrol etmenin ikinci dereceden daha düşük bir sınırı olduğunu bir yerde okudum. içerisindeki vs. türündeki alt sınırlardan bahsettiğimizde , TM modelinin kesin bir önemi olmadığını varsaymak hala doğru mudur?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

3

Konu dışı: Robin, Tsuyoshi, 3SUM alt sınır ailesini tanıttığınız için teşekkürler: Daha önce hiç duymadım.

— gphilip

2

@Tsuyoshi: Bilgi için teşekkürler. Bu konuyla ilgili güzel bir anket: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf . @gphilip: Bu soruna yakın zamanda bazı hesaplama geometrileri tarafından tanıtıldım. Sanırım o bölgede çok iyi biliniyor.

— Robin Kothari

Harika soru Ne demek istediğinizi "üniforma" ile açıklayabilir misiniz: parametrenin ön işleme miktarını sınırlamak ister misiniz?

— András Salamon

35

Evet, en iyi bilinen algoritma -sum çalışır Eğer bazı iddia verebilecek çok mümkün yüzden, zaman İçinde çünkü eğer, sorun zordur o zaman çözebilir - TOPLA daha hızlı. $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

Not -sum sorun olarak "kolay" alır artar: için geliştirilmiş bir algoritma verilen -sum, onun için geliştirilmiş bir algoritma elde etmek oldukça kolaydır -sum: hepsini almak çifti sayıda senin verilen her bir çiftin ikisinin toplamıyla değiştirilmesi için -SUM örneği verildi ve eşit olanlardan sayısının toplamını arayın . Sonra, -SUM için bir algoritması , bir $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ SUMiçin algoritması. Başka bir deyişle, SUM için sıkı bir alt sınır, -SUMiçin sıkı bir alt sınırdan daha güçlü bir varsayımdır. $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

Zor bir problem için başka bir aday Clique. Bu konuda daha fazla bilgi için benim -Clique cevabına bakın . Sorununuz için daha iyi bir algoritmanın clique için bir algoritması olduğunu gösterdiğini (örneğin) gösterebilirseniz, algoritmanızı geliştirmek için süper bir atılım gerekecektir. Parametreli karmaşıklık, bunun gibi diğer sorunlara birçok örnek verir: -Clique, sınıfı için zordur ve -SUM, için zordur . $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

Gibi sorunlar beni böyle sorunlar çok uygun olmasına rağmen çalışmak sizi uyarmak Let -sum vardır değil "zor" in arasında , örneğin, çok olası değildir ki, her sorun aslında SUM'a düşürülmüş lineer zaman olabilir. Bunun nedeni ise, -sum ile çözülebilir ikinci dereceden zaman içinde her indirgenebilir ise doğrusal zamanda gerekirci olmayan makinalar bit, yani -sum sonra, $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ ve diğer harika sonuçlar. Bu noktada daha fazla" zorlu sorunlar ne kadar zor ?" Makalesinde bulunabilir. (Bir noktada, "3SUM-hard", " -hard" olarak adlandırıldı; bu SIGACT makalesi bu addan haklı olarak şikayet etti.) $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— Ryan Williams
kaynak

4

I K-klik kullanarak tek sorun 3-klik içinde çözülebilir olmasıdır

. Eğer k-clique

gerektiriyorsa , kullanımı çok doğal bir aile olurdu.

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

— Robin Kothari

-SUM ve

-Clique kullanmak arasında temel bir fark görmüyorum.

-sum olan

için bile

. Sorununuz için daha iyi bir algoritma olduğunu gösterirseniz,

-Clique'in

olduğu anlamına gelir , bu, probleminiz için daha iyi bir algoritmanın bulunmasının oldukça zor olacağının kanıtıdır.

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

— Ryan Williams,

düzgün referans, Ryan. Geometri topluluğunda 3SUM'un ne kadar popüler olduğu göz önüne alındığında daha önce bilmediğim için utanıyorum. Tabii ki bu soruyu akla getiriyor:

zor olması için herhangi bir doğal aday var mı?

n^{2}

$n^2$

— Suresh Venkat

@Ryan: Haklısın, onlar aynı. Her ne kadar k-SUM ile en azından zayıf modellerde varsayım sınırının doğru olduğuna dair kanıtımız var. 3-clique'in matris çarpımından daha hızlı çözülememesi gerektiğini öne süren hiçbir argüman bilmiyorum.

— Robin Kothari

@Robin:

için

muhtemel düşük sınırları olan herhangi bir doğal problem ailesinin iyi bir cevap olacağını düşünürdüm. Kesin sabit daha az önemli görünüyor?

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

— András Salamon

14

Tüm Çiftler En Kısa Yollar (APSP) sorununun gerekli zaman olduğuna inanılıyor . Ondan azaltmak, Hızlı Matris Çarpma (FMM) tabanlı gelişmelerin olası olmadığını öne sürmenin harika bir yoludur. $\Omega^\star(n^3)$

— Mihai
kaynak

2

Bir grafiğin çapı hakkında nasıl? Daha da iyisi, bir karar sorunu yapın "Çapı en az k mı?". Bu, bildiğim kadarıyla aşikar bir superlinear bağlı olmaması avantajına sahiptir.

— Raphael,

9

O ilgin dejenere sorun için iyi algoritmalar inanılmaktadır de boyutlu alan çalışma zaman. Sorun şudur: Tam boyutlu koordinatlarla boyutlu boyutlu uzayda noktaları göz önüne alındığında , herhangi bir puanı ortak bir hiper düzlemde yatar mı? $d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

Afin dejenerasyon problemi -SUM zor. Biz alt sınır conjectured fişi -sum, daha düşük bir sınırı elde . Afin dejenerelik sorunun karmaşıklığı nedeniyle varsayım için daha güçlü olsa. $(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled ve En Küçük Ortanca Kare Probleminde DM Dağı, Kesikli ve Hesaplamalı Geometri, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson ve R. Seidel. İnce ve küresel dejenerasyonları tespit etmede daha iyi sınırlar. Ayrık Hesaplama. Geom., 13: 41-57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J. Erickson. Tek boyutlu dışbükey gövde problemleri için yeni alt sınırlar. SIAM J. Comput., 28: 1198-1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Guilherme D. da Fonseca
kaynak

Bu cevabı beğendim, ancak açıklayabilir misiniz? Neden inanılıyor?

— Aaron Sterling

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Jeffε
kaynak

7

Hopcroft'un problemine indirgeyen geometrik olmayan problemler var mı?

— Suresh Venkat

Bu cevabı ödül almaya karar verdim çünkü bu sorunu daha önce hiç duymamıştım.

— Robin Kothari