ağları için daha düşük sınırların sonuçları

Buradaki birçoğu, Alon'un doğal bir geometrik ortamda ağları için son zamanlarda süper-lineer alt sınırlarının farkındadır [PDF] . Böyle bir alt sınırın herhangi bir şey varsa, ilişkili Set Kapağı / İsabet Seti problemlerinin yakınlığı hakkında ne anlama geldiğini bilmek istiyorum. $\epsilon$

Biraz daha spesifik olmak gerekirse, örneğin, ailenin bir aralık alanı ailesini düşünün:

$\big\{(X,\mathcal{R})$ : sonlu bir düzlemsel noktası grubu, bir tüm kavşakları içeren hatları ile$X$$\mathcal{R}$$X$$\big\}$

Bazı fonksiyon için ise doğrusal ya da süper-doğrusal, aile kabul etmez bir aralık boşluk içeriyorsa -nets boyutu , eğer bir şey, bu Asgari isabet da kapsıyor mu ne Set aralığı bu aralık alanları ailesi ile sınırlı mı?$f$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$

Bir aralık boşluğu -net boyutunda ise, kesirli isabet kümesinin (veya set kapağının) bütünlük aralığı . Philip Long'un çalışmalarına bakın ( burada [The Even etal. İşi bu çalışmadan daha geç ve bazı şeylerini yeniden keşfedin]). Ayrıca slaytları Bkz 13-16 buraya .$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$f(1/\epsilon)/(1/\epsilon)$

Kısacası, doğrusal olmayan ağlarına sahip olmak, ilgili isabet-set / set kapak problemine sabit bir faktörden daha iyi yaklaşmanın çok zor olacağını gösterir.$\epsilon$

Bir şey ima ettiğinden emin değilim. Ana sonuçlar diğer yönde akar, yani Bronnimann / Goodrich veya Even / Rawitz / Shahar konstrüksiyonları ile, lineer boyutlu bir ağ isabet seti (sınırlı VC boyutu için) için sabit bir faktör yaklaşımı anlamına gelir,