Doğrusal sistemler bilgisayar bilimi için nasıl / neden bu kadar önemlidir?

Matematiksel Optimizasyon'a çok yakın zamanda dahil olmaya başladım ve onu seviyorum. Optimizasyon problemlerinin birçoğu doğrusal programlar (örn. Ağ akışları, kenar / tepe örtüsü, seyahat eden satıcılar vb.) Olarak kolayca ifade edilebilir ve çözülebilir. Bazılarının NP-zor olduğunu biliyorum, optimal bir şekilde çözülmezse 'doğrusal bir program olarak çerçevelenir'.

Bu beni düşündürdü: Bize her zaman tüm okul / kolej boyunca doğrusal denklem sistemleri, doğrusal cebir sistemleri öğretildi. Ve çeşitli algoritmaları ifade etmek için LP'lerin gücünü görmek biraz büyüleyici.

Soru: Etrafımızda yaygın olan doğrusal olmayan sistemlerimiz olmasına rağmen, doğrusal sistemler bilgisayar bilimi için nasıl / neden bu kadar önemlidir? Anlayışı basitleştirmeye yardımcı olduklarını ve çoğu zaman hesaplamalı olarak izlenebilir olduklarını anlıyorum ama öyle mi? Bu 'yaklaşım' ne kadar iyi? Aşırı basitleştiriyor muyuz ve sonuçlar pratikte hala anlamlı mı? Yoksa sadece 'doğa' mı yani en büyüleyici problemler gerçekten doğrusal mı?

'Doğrusal cebir / denklemler / programlama' nın CS'nin köşe taşlarından olmasını sağlamak güvenli midir? Değilse, iyi bir çelişki ne olurdu? Doğrusal olmayan şeylerle ne sıklıkta uğraşıyoruz (teorik olarak değil, aynı zamanda 'çözülebilirlik' açısından da kastediyorum, yani sadece NP'nin bunu kesmediğini söylemek; soruna iyi bir yaklaşım olmalı ve inecek mi? yukarı lineer olmak?)

Sorunun temeli biraz kusurlu: kuadratiklerin izlenebilirlik ve modelleme için gerçek "sınır" olduğunu iddia edecek birçok kişi var, çünkü en küçük kareler problemleri neredeyse doğrusal problemler kadar 'kolay'. Dışbükeyliğin (hatta bazı durumlarda alt-modülerliğin) izlenebilirliğin sınırı olduğunu iddia eden başkaları da vardır.

Belki daha alakalı olan şey "doğrusal sistemler neden izlenebilir çözümler kabul ediyor?" ki bu tam olarak sorduğunuz şey değil, ama ilgili. Buna bir bakış açısı, birleştirilebilirliktir. Doğrusal bir sistemin tanımlayıcı özelliği$f(x + y) = f(x) + f(y)$, bu sisteme bir tür "hafızasızlık" kazandırır. Bir soruna çözüm oluşturmak için, münferit parçalara odaklanabilir ve onları herhangi bir ceza olmadan birleştirebilirim. Gerçekten de, akış için çoğu algoritmanın öncüsü tam olarak budur.

Bu hafızasızlık verimlilik kazandırır: Bazı şeyleri parçalara ayırabilir veya tekrar tekrar çalışabilirim ve bunu yaparak kaybetmiyorum. Hala kötü kararlar verebilirim (açgözlü algoritmalar) ama şeyleri kendi kendine bölme eylemi bana zarar vermez.

Doğrusallığın böyle bir güce sahip olmasının bir nedeni de budur. Muhtemelen başkaları da vardır.

" Etrafımızda yaygın olan doğrusal olmayan sistemlerimiz olmasına rağmen, doğrusal sistemler bilgisayar bilimi için nasıl / neden bu kadar önemlidir?"

Aklımda kısmi bir cevap var: Bence doğa, nesneler / fenomenlerle doludur - işlenenlerinde doğrusal olmayan da olsa işlevlerle temsil edilebilir, aslında doğrusal uzayların üyesidir. Bir Hilbert uzayında dalga fonksiyonları, fourier spektrumundaki bileşenler, polinom halkaları, stokastik süreçler - hepsi bu şekilde davranır. Kavisli alanların çok genel tanımları bile küçük düz alanların (manifoldlar, Riemann yüzeyleri, ..) oluşturduğu grafiklerden oluşur. Dahası, doğa simetrilerle doludur ve simetrileri incelemek her zaman lineer operatörlerin incelenmesine girer (bence temsil teorisi, bilgisayar biliminin birçok alanına her zaman her yerde sürünüyor).

Bunlar, operatörlerin kendilerinin doğada doğrusal oldukları durumlara ek olarak.

Bilgisayar programlarına ihtiyaç duyduğumuz sorunların büyük bir kısmı, doğal olarak meydana gelen fenomenler olarak doğrudan ortaya çıkar veya bunlardan soyutlanır. Belki de doğrusal sistemleri incelemek / çözmek büyük bir sürpriz olmamalı?