Kendisi için bir grafik değil edilebilir nedenleri yalandan?

Üzerinde biraz akıl yürütme iken bu soruya , tüm grafiği kendisi için farklı nedenleri tespit etmek denedim olmak başarısız olabilir yalandan. Bunlar şimdiye kadar tanımlayabilmemin tek 2 nedeni:$G = (V_G,E_G)$$k$

1. $G$ , boyutunda bir klik içerir . Bu bariz bir sebep.$k+1$

2. Aşağıdaki ifadelerin her ikisinin de doğru olması için bir alt bulunmaktadır:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • $H$ değildir renklendirilebilir.$k-1$
   • $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ . Diğer bir deyişle, bir düğüm vardır de değil de , öyle ki , her düğüme bağlanır .G H x $x$$G$$H$$x$$H$

Yukarıdaki 2 nedeni kural olarak görebiliriz. Yinelemeli bunları uygulayarak, sadece 2 yolu olmayan oluşturmak için bir içermez boyanabilir grafiği olan klik:k + $k$$k+1$

1. Çift uzunlukta bir döngüden başlayın (ki bu renklendirilebilir), sonra kural 2'yi k-1 kez uygulayın. Bir kenarın uzunluk 2 döngüsü olarak kabul edilmediğine dikkat edin (aksi takdirde bu işlem bir k + 1 klikesi oluşturma etkisine sahip olacaktır ).k - 1 2 k + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. Bir tuhaf uzunluk döngüsünden başlayın (ki bu $3$ renklendirilebilir), sonra kural 2'yi $k-2$ kez uygulayın. Başlangıç ​​döngüsünün uzunluğu 3'ten büyük olmalıdır $3$(aksi takdirde bu işlem bir $k+1$ klikesi oluşturma etkisine sahip olacaktır ).

Soru

K grafiğini $k$renklendirilemez hale getiren yukarıdaki 2'den başka bir sebep var mı ?

$\ $
30/11/2012 Güncelleme

Daha doğrusu, ihtiyacım olan şey, formun bazı teoremleri:

G grafiğinde $G$kromatik sayıya sahip olan $\chi(G) = k + 1$ eğer sadece ...

Yuval Filmus'un cevabında işaret ettiği Hajós hesabı , aradığım şeyin mükemmel bir örneğidir, çünkü bir grafik kromatik bir sayıya sahipse, ise ve eğer sadece Analizin 2 çıkarım kuralını tekrar tekrar uygulayarak . Hós sayısı daha sonra türetilmesi için gereken minimum adım sayısıdır (yani en kısa kanıtın uzunluğu).$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

Bu çok ilginç:

• Bir grafik vardır olmadığı sorusu olan boyutu üstel olan hala açıktır.$G$$h(G)$$G$
• Böyle bir yoksa, .$G$$NP = coNP$

Hajós hesabını kontrol etmelisin . Hajós, en az kromatik sayıya sahip her grafiğin, k renkleri gerektiren bir "nedeni" olan bir alt yazıya sahip olduğunu gösterdi . Söz konusu sebep, k renk gerektiren bir ispat sistemidir . Tek aksiyom K k ve iki çıkarım kuralı var. Ayrıca bkz Bu kağıdı bu kanıtı sistemin verimliliği üzerinde Pitassi ve Urquhart tarafından.$k$$k$$k$$K_k$

Kısmi bir cevap, ki genelleştirilebilecek hoş bir "sebep" bilmiyorum ama şu grafik (utanmazca buradan çekildi ):

3-yalandan değil, ama (varlık düzlemsel) besbelli 4-renklendirilebilir olduğunu ve hiçbir içerdiği , ne de bir şey eksik sürece (bütün döngü köşe bağlı bir ek köşe noktasına sahip herhangi bir döngüyü, ama sadece köşe Bir tepe noktasına bağlı ve komşuları 3 çevrimlidir). Daha ileri götürmek için, 5 numaralı kromatik bir grafiği elde etmek için kural 2'nin bir sürümünü uygulayabilirsiniz.$K_{4}$

Herhangi bir cins için, 1 veya 2 kurallarını takip etmeyen , belirli bir minimum kromatik sayının ( Heawood düşüncesine bakınız ) bir grafiğinin olduğundan şüpheleniyorum . Tabii ki , sezgiden başka bir kanıtım yok.

Lovasz, k renklendirilebilirliği için topolojik engeller buldu ve Knaser'in varsayımını çözmek için teorisini kullandı. Teoremi şöyle. G'nin bağlı bir grafik olmasına izin verin ve N (G) 'nin yüzleri ortak bir komşusu olan V altkümesi olan basit bir kompleks olsun. O zaman N (K) k bağlıysa (yani, tüm indirgenmiş homoloji grupları 0'a k-1'e kadardır), o zaman G rengini almak için gereken renk sayısı en az k + 3'tür.

Büyük bir bağımsız kümeye sahip olmamak, büyük bir klibe sahip olmak kadar önemli olabilir.

Bir grafiğin k-renklendirilemez olması için önemli bir engel, bağımsız bir kümenin maksimum boyutunun n / k'den daha küçük olmasıdır, burada n, köşelerin sayısıdır. Bu çok önemli bir obstrüksiyon. Örneğin, G (n, 1/2) 'de rastgele bir grafiğin en az n / log n kromatik sayıya sahip olduğu anlamına gelir.

Daha hassas bir engelleme, tepe noktaları için negatif olmayan her ağırlığın atanması için toplam ağırlığın 1 / 5'in (veya daha fazlasının) bir kısmını yakalayan bağımsız bir kümenin olmamasıdır. Bunun ayrıca "klikak engellememesi" olmadığını da unutmayın. LP-dualite, bu engellemenin G'nin "fraksiyonel kromatik sayısının" k'dan büyük olmasına eşdeğer olduğunu söyler.

Bazen kesirli kromatik sayı engelinin ötesine geçen, farklı bir yapının k renklendirilebilirliği için engeller de vardır. Onlara ayrı bir cevap vereceğim.

Olarak sorunun sizin yeniden formüle yeniden "Daha doğrusu, ne gerek formun bazı teoremi geçerli: bir grafik kromatik sayısı vardır , x, ( G ) = k + 1 ancak ve ancak ...":$G$$\chi(G)=k+1$

Bunu yeterince açıklayıcı olduğunu düşünecektir olmadığını bilmiyorum, ama bu az uyan az sözdizimi istemek: Bir yönsüz grafiği kromatik sayısı vardır , x, ( G ) ≥ k ancak ve sadece kenarlarını yönlendirmek nasıl olursa olsun, eğer G , ortaya çıkan yönlendirilmiş grafik en az bir yönlendirilmiş yol uzunluğu k - 1 içerecektir . Bu, Gallai-Hasse-Roy – Vitaver teoremidir .$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$