Determinant ve kalıcı için alt sınır

Derinlik-3 sonucundaki son uçurum ışığında (ki bu, diğer şeylerin yanı sıra , üzerinde belirleyici için için derinlik-3 aritmetik devresi verir ), aşağıdaki sorular vardır: Grigoriyev ve Karpinski'nin kanıtlanmıştır bir determinantını işlem herhangi bir derinlik 3 aritmetik devre için alt sınır herhalde sonlu alanlar üzerinde matrisler ( Daimi için de geçerlidir). Kalıcı hesaplamak için Ryser'in formülü , derinlik-3 aritmetik devresi verir.n×n$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$ n × $2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$. Bu, sonucun Kalıcı alanlardaki kalıcı alanlar için derinlik-3 devreleri için esasen sıkı olduğunu göstermektedir. İki sorum var:

1) Kalıcı Ryser'in formülüne benzer determinant için bir derinlik-3 formülü var mı?

2) Determinant polinomu \ textit {her zaman} 'ı hesaplayan aritmetik devrelerin boyutuna bağlı bir alt sınır, kalıcı polinom için daha düşük bir sınır oluşturur mu? (Over aynı polinomlardır).$\mathbb{F}_2$

Sorumum parasal olarak sonlu alanlardaki bu polinomlarla ilgili olsa da, bu soruların keyfi alanlardaki durumunu da bilmek istiyorum.

Kalıcı VNP için p projeksiyonları altında karakteristik 2 olmayan herhangi bir alan için tamamlanmıştır. Bu, ikinci sorunuza olumlu bir cevap verir. Bu azalma doğrusal olsaydı, ilk sorunuza olumlu bir cevap verirdi, ama bunun açık kaldığına inanıyorum.

Daha ayrıntılı olarak: bir polinom vardır bu şekilde bir projeksiyon , örneğin, her bir değişken göndermek, belirli bir ikame olduğu bir değişken ya ya da bir sabit, bu sübstitüsyondan sonra daimi, determinantını hesaplayacak şekildedir.d e t n ( X ) p e r m q ( n ) ( Y ) y i j x k ℓ q ( $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$n × $q(n) \times q(n)$$n \times n$

1) Böylece Ryser'in formülü, bir determinant için büyüklüğünde büyüklüğünde bir değiştirme yapılabilir (derinlikler çıkıntılar altında artmaz . GÜNCELLEME : @Ramprasad'ın yorumlarda işaret ettiği gibi, bu yalnızca olduğunda önemsiz bir şey verir , çünkü boyutunda önemsiz bir derinlik 2 formülü vardır det için. Ramprasad ile birlikteyim, bildiğim en iyi şey veren ABP'lerin azaltılması . q ( n ) = o ( n log n ) n ⋅ n ! = 2 O ( n log n ) q ( n ) = O ( n 3$2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$$q(n)=O(n^3)$

2) Eğer kalıcı hesaplanırsa - yine, 2 - değil bazı karakteristik alanların üzerinde büyüklüğünde bir devre ile hesaplanırsa , determinantı büyüklüğünde bir devre tarafından hesaplanabilir. . Bu yüzden için devre büyüklüğündeki ' alt sınırı kalıcı için devre boyutundaki nin alt sınırını verir (bu ters , değil ). Yukarıda belirtilen , bir det alt sınırından bir alt sınırı verir.s ( m ) n, x n s ( q ( n ) ) b ( N ) D E t , n B ( q - 1 ( n ) ) q 1 / q ( n ) q ( n ) = O ( n, 3 ) $m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$B ( $b(n^{1/3})$$b(n)$

Belirleyicinin bir şekilde kalıcıdan daha zor olması çok olasıdır. Her ikisi de polinomlardır, kalıcı olanların Waring Rank (lineer formların toplam güçlerinin toplamı) kabaca 4 ^ n, Chow Rank (lineer formların toplamlarının toplamı) kabaca 2 ^ n'dir. Açıkçası, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Belirleyici için, bu sayılar sadece alt sınırlardır. Öte yandan, bir süre önce, determinantın Savaş rütbesinin üst sınırda olduğunu (n + 1) kanıtladım! ve bu gerçeğe yakın olabilir.