Poliloğa bağlı derinlik devreleri için devre alt sınırlarındaki durum

Sınırlı derinlik devresi karmaşıklığı, devre karmaşıklığı teorisi içindeki ana araştırma alanlarından biridir. Bu konunun kökenleri "parite işlevi $AC^{0}$ " ve "mod $p$ işlevi tarafından hesaplanmamıştır $AC^{0}[q]$, burada $AC^0[q]$ , tarafından belirlenebilen dil sınıfıdır düzgün olmayan, sabit derinlik, polinom boyutu, sınırsız fan girişi AND, OR, NOT ve modulo $q$ gates, burada $\gcd(p,q)=1$. Bununla birlikte, polilogaritmik derinlik devreleri üzerinde somut alt sınırlar elde etmek, girdileri kısıtlamak ve sonlu alanlardaki polinomlara yaklaşmak gibi klasik yöntemler kullanarak erişilemez görünmektedir.

Geometrik karmaşıklık teorisine yol açan ve bit bilge olmayan işlemleri kullanarak verimli paralel hesaplamanın minimum maliyet akışı problemini hesaplayamadığını gösteren bir STOC'96 kağıdı biliyorum.

Bu, belirli sınırlı ayarlarda, bazı P için alt sınırlarını kanıtlayabildiğimiz anlamına gelir.$NC$$P$ tamamlama problemi .

Birincisi, polilogaritmik derinlik devresi alt sınırlarını kanıtlamak için makul yaklaşımlar olabilecek başka yöntem veya teknikler var mı?

İkincisi, aşağıdaki ifade teori topluluğu için ne kadar yararlı?

Boole işlevini f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } hesaplayan bir devresinin boyutu en az l'dir ; burada l , hedef işlev f'nin sertliğine bağlı olarak bir miktar matematiktir . L' nin değeri, örneğin, tutarsızlık gibi kombinatoryal bir miktar, bir alan üzerindeki belirli matris türünün sırası gibi doğrusal bir cebirsel miktar veya daha önce karmaşıklık teorisinde kullanılmamış olan tamamen yeni bir miktar olabilir.$NC$$f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$l$$l$$f$$l$

Poli-log devre derinliği alt sınırlarını kanıtlama tekniklerinde, tüm mevcut yaklaşımlar kısıtlı ayarlar altında çalışır . Örneğin, bahsettiğiniz GCT'ye yol açan çalışmada , alt sınır, bit işlemleri olmayan kısıtlı bir PRAM modeli için geçerlidir.

Monoton Boole fonksiyonları için monoton sınırlamadır bir kısıtlama altında, Aaron Potechin (benim ortak çalışma, monoton devre derinliği alt sınır kanıtlamak için, bir Fourier-analitik (veya enumarativ-birleşimsel) bir yaklaşım vardır ECCC ve STOC ). Bu , Mauricio Karchmer ve Avi Wigderson'un devre derinliği ile ilgili iletişim oyun çerçevesini genişleten Ran Raz ve Pierre McKenzie'nin daha önceki bir sonucunda iyileşiyor.

Karchmer-Wigderson oyun genişletmek için araştırma bir diğer dizi olarak önerilmiştir bahsedilen iletişim oyun uzantısı rakip-prover protokolüne Gillat Kol ve Ran Raz ile (P NC ayırmak için bir yöntem olarak önerilmektedir Scott Aaronson ve Avi Wigderson ile ECCC ve ITCS ).

Tekdüzeliğin sözdizimsel kısıtlamasını incelemenin yanı sıra, Stephen Cook, Pierre McKenzie, Dustin Wehr, Mark Braverman ve Rahul Santhanam'ın çakıl oyunlarıyla ilgili (tutumlu dallanma programları olarak adlandırılır) semantik bir kısıtlamayı incelemek için bir yaklaşım var . Dustin Wehr'in tutumlu kısıtlaması altında, P-complete problemleri için en iyi bilinen üst sınırı eşleştiren güçlü bir alt sınır vardır . Bu sonuçlar bilinen simülasyon sonuçlarıyla paralel zamanı veya devre derinliğini sınırlayan deterministik uzay karmaşıklığı ile ilgilidir (örneğin AlternatingTime [ t ] ⊆.$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

Devrelerin boyutu ve derinliği ile ilgili soru hakkında, aşağıdaki yaklaşım ilişkili olabilir. Richard Lipton ve Ryan Williams gösteren yeterince güçlü bir derinliğe bağlı düşük verilen (yani ) zayıf bir boyutu için alt sınırı (yani , n 1 + Ω ( 1 ) ) Bu sonuç, P. NC ayırabilir bunu, bloklara saygılı simülasyonlara dayanan bir boyut derinliği değiş tokuş argümanından alıyor. Büyüklük için ticaret derinliği üzerinde daha erken bir sonuç , kendini küçültme fikrine dayanan Allender ve Koucký'dan kaynaklanmaktadır, ancak NC 1 ve NL gibi daha küçük karmaşıklık sınıflarını inceledi .$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

Yukarıda belirtilen yaklaşımlar arasında, bazılarının devrelerin boyutunu ve derinliğini dikkate alırken, diğer yaklaşımların sadece devre derinliğini dikkate aldığını unutmayın. Özellikle, yarı-algebro geometrik yaklaşım Mulmuley , tarafından incelenmiştir rekabet-prover protokolü yaklaşım Kol-Raz ve boyut derinliği ödünleşim yaklaşması Allender-Koucký ve Lipton-Williams , tüm endişe, her boyut ve derinlik devrelerin. Sonuçlar Chan-Potechin , Raz-McKenzie , Mutfak McKenzie-Wehr-Braverman-Santhanam ve Wehr vermek devre derinlemesine boyutu ne olursa olsun sınırlı ayarları altında sınırları daha düşük. Ayrıca, belirtilen iletişim oyunu Aaronson-Wigderson tek devre derinliği ile ilgilidir.

Bazı P-tamamlama probleminin boyuttan bağımsız olarak küçük derinlikteki devrelerle (yani ) hesaplanamayacağı bilgimizle hala tutarlıdır . Küçük derinlik devreleri (sınırlı fan girişi) için boyut önemli değilse, belki de küçük derinlik devrelerinin boyutuna odaklanmaktan ziyade devre derinliğine daha fazla odaklanmak mantıklıdır.$\log^{O(1)}n$

Kaveh'in önerisinden sonra, yorumumu (genişletilmiş) bir cevap olarak koyuyorum.

İlgili $Q1$ , dikkatli bir kelime için teşkil etmektedir: logaritmik derinliği ise kadar poli-logaritmik hakkında konuşma olmayan, anlaşılmalıdır den. Yani, monoton olmayan dünyada, gerçek sorun çok daha az iddialı:

Log-derinliği Dayak Sorunu: N C 1 için süper doğrusal (!) Bir alt sınır kanıtlamak$NC^1$ devreleri kanıtlayın.

$NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$ herhangi bir derinlikte geçitleri .

$Q2$$NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$$R_A(r)\leq (n-r)^2$ holds for every boolean $n\times n$ matrix $A$, and Valiant (1977) has shown that this bound is tight for almost all matrices. To beat log-depth circuits, it is enough to exhibit a sequence of boolean $n\times n$ matrices $A$ such that

$R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$ for constants $\epsilon,\delta>0$.

The best we know so far are matrices $A$ with $R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$. For Sylvester matrices (i.e. inner product matrices), the lower bound of $\Omega(n^2/r)$ is easy to show.

We have combinatorial measures for general (non-linear) $NC^1$-circuits, as well For a bipartite $n\times n$ graph $G$, let $t(G)$ be the smallest number $t$ such that $G$ can be written as an intersection of $t$ bipartite graphs, each being a union of at most $t$ complete bipartite graphs. To beat the general log-depth circuits, it would be enough to find a sequence of graphs with

$t(G_n)\geq n^{\epsilon}$ for a constant $\epsilon >0$

(see, e.g. here on how this happens). Again, almost all graphs have $t(G)\geq n^{1/2}$. However, the best remains a lower bound $t(G)\geq \log^3 n$ for Sylvester matrices, due to Lokam.

Finally, let me mention that we even have a "simple" combinatorial measure (quantity) a weak (linear) lower bound on which would yield even exponential(!) lower bounds for non-monotone circuits. For a bipartite $n\times n$ graph $G$, let $c(G)$ be the smallest number of fanin-$2$ union ($\cup$) and intersection ($\cap$) operations required to produce $G$ when starting from stars; a star is a set of edges joining one vertex with all vertices on the other side. Almost all graphs have $c(G)=\Omega(n^2/\log n)$. On the other hand, a lower bound of

$c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ for a constant $\epsilon>0$

would imply a lower bound $\Omega(2^{N/2})$ on the non-monotone circuit complexity of an explicit boolean function $f_G$ of $N$ variables. If $G$ is $n\times m$ graph with $m=o(n)$, then even a lower bound $c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ is enough (again, see, e.g. here on how this happens). Lower bounds $c(G)\geq (2-\epsilon)n$ can be shown for relatively simple graphs. The problem, however, is to do this with "$-\epsilon$" replaced by "$+\epsilon$". More combinatorial measures lower-bounding circuit complexity (including the $ACC$-circuits) can be found in the book.

P.S. So, are we by a constant factor of $2+\epsilon$ from showing $P\neq NP$? Of course - not. I mentioned this latter measure $c(G)$ only to show that one should treat "amplification" (or "magnification") of lower bounds with a healthy portion of skepticism: even though the bounds we need look "innocently", are much smaller (linear) than almost all graphs require (quadratic), the inherent difficulty of proving a (weak) lower bound may be even bigger. Of course, having found a combinatorial measure, we can say something about what properties of functions make them computationally hard. This may be useful for proving an indirect lower bound: some complexity class contains a function requiring large circuits or formulas. But the ultimate goal is to come up with an explicit hard function, whose definition does not have an "algorithmic smell", does not have any hidden complexity aspects.