Mulmuley-Sohoni'nin alt sınırlar üretmeye yönelik geometrik yaklaşımı, doğal kanıtlar üretmekten nasıl kaçınır (Razborov-Rudich anlamında)?

Başlığın tam olarak ifade edilmesi, Anand Kulkarni'den (bu sitenin oluşturulmasını öneren) kaynaklanıyor. Bu soruya örnek bir soru soruldu, ama delice merak ediyorum. Cebirsel geometri hakkında çok az şey biliyorum ve aslında sadece P / poli ile NP sorusundaki engelleri (sadece görmezden gelen, cebirsiz olmanın, muhtemelen doğal bir kanıt olmayacak) oynadığı engelleri de içeren bir el yazısı, lisans eğitimi var. .

Cebirsel geometriyi bu tür engelleri aşabilecek gibi görünen şey nedir? Bu sadece saha uzmanı sezgisi midir, yoksa yaklaşımın temelde önceki yaklaşımlardan daha güçlü olduğuna inanmak için gerçekten iyi bir nedenimiz var mı? Bu yaklaşım hangi zayıf sonuçlara ulaşabildi?

[GCT ile ilgili diğer soruların likidisini diğer konular için bırakarak, başlıkta belirtilen soruyu cevaplayacağım.] GCT’de ortaya çıkan varsayımların ispatlanması, dikkate alınan işlevlerin (belirleyici ve kalıcı, ve P / poli ve NP) ile ilgili diğer polinomlar simetrileri ile karakterize edilir. Bu gereklilik resmi bir sonuç değil, birkaç uzman tarafından ifade edilen bir sezgidir. (Temel olarak simetriler ile karakterizasyonun yokluğunda, ortaya çıkan cebirsel geometriyi ve temsil teorisini anlamak çok daha zor.)

Bu Razborov-Rudich'i atlamalıdır çünkü çok az fonksiyon simetrileri ile karakterize edilir (doğal kanıtların tanımındaki genişlik durumunu atlayarak). Yine, bunun bir kanıtını görmedim, ancak birkaç uzman tarafından dile getirdiğim bir sezgidir.

Şimdi, karmaşık sayılarla ilgili olarak, Razborov-Rudich'in bir benzerinin olduğu bana açık değil. Her ne kadar GCT'nin çoğu şu anda karmaşık sayılara odaklanmış olsa da, sonlu karakteristikte analoglar vardır (bir sonraki makalede GCT VIII'de söz edilmiştir). Sonlu karakteristikte, kişi aslında "Çok az fonksiyon simetrileri ile karakterize edilir" şeklinde bir ifadeyi ispatlayabilir.

[Ross Snider'in yorumuna cevap olarak, işte simetriler ile karakterizasyonun açıklaması.]

İlk önce, örnek olarak bir açıklama. Örneğin, bir yardımcı işlev tanımlayın . Eğer A bir permütasyon matrisi ise, o zaman q ( A ) = 1 ve A köşegen ise, q ( A ) = d e t ( A ) (diyagonal girişlerin ürünü). Şimdi, diyelim ki p ( X ) homojen bir derece n polinom n 2 değişken biz bir girişlerindeki olarak düşündüğünü ( n x n matris $q$$A$$q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$). Eğer aşağıdaki simetrilere sahipse:$p$

• (devrik)$p(X) = p(X^t)$
• matrislerin çiftleri için ( A , B ), bu şekilde bir ve B her bir permütasyon matrisleri ya da çapraz matrisler ve ya vardır q ( A ) q ( B ) = $p(AXB) = p(X)$$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

daha sonra sabit bir katı olan p e r m ( X ) Tüm matrisler x . Dolayısıyla kalıcı kalmanın simetrileri ile karakterize olduğunu söylüyoruz.$p(X)$$perm(X)$$X$

Bir (homojen) polinom varsa Daha genel olarak, de m değişkenler, daha sonra G L m (bütün ters çevrilebilir bir grup m x m matrisler) üzerinde hareket f ile ( bir f ) ( x 1 , . . . , x m ) = f ( A - 1 ( x 1 ) $f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$ için bir ∈ G L m değişkenlerin alıyor ( X 1 , . . . , X m, için bir temel olarak m üzerinde boyutlu vektör alanı G L m doğal işlev görür). Stabilizatör f de G L m olan alt grup Stab ( f ) = { A ∈ $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$$A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$ . Bu demek f şu sahip ise de simetrileri ile karakterize edilir: bir homojen polinom için f ' de m, aynı derece değişken f , ise bir f ' = f ' için tüm bir ∈ Stab ( f ) , daha sonra f ' isimli bir sürekli çok f .$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$$f'$$m$$f$$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

Joshua Grochow'un cevabı iyi bir cevap, ancak daha genel bir yorum yapmaya değeceğini düşünüyorum. Razborov-Rudich sonucu bazı Boole fonksiyonu olmadığını kanıtlamak istiyorsanız söylüyor , o zaman ya hesaplamak aşikar olmayan veya olduğu işlevin bazı özelliğini kullanmanız gerekir (kendi kriptografik hipotezi inanıyoruz varsayarak) bu, yalnızca az sayıda diğer Boolean işlevleriyle paylaşılır. Uygulamada uygun özellikler bulmak kolay değildir; bununla birlikte, Razborov-Rudich gözlemi, amaçlanan kanıtla ilgili somut detayların olmadığı durumlarda, devre alt sınırlarına yönelik pek çok genel saldırı planını dışlamaz . Mesela, ispatlamak için planımın saf olarak söyleyeceğimi varsayalım.$P/poly$G bir T ∉ P / s O l y S A , T , N P K $NP\not\subseteq P/poly$$SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$

Başka bir ifadeyle, Razborov - Rudich genellikle, "özel mülkleri" kullanmak için planınızı bıraktığınız sürece devre alt sınırlarına bir saldırı hattı planlamanın ilk aşamalarında pek fazla engel sunmaz. Aday Boolean’ın işlevleri. Sadece kollarınızı kıvırdığınızda ve vatandaşlığa kabul bariyerinin başını ciddi şekilde geri almaya başlayacağı argümanının ayrıntılarını doldurmaya çalıştığınızda. GCT'nin hala gelişimin erken bir aşamasında olduğu göz önüne alındığında, henüz vatandaşlığa alınma konusunda çok fazla endişe duymamızı beklememeliyiz (tabii ki GCT programının önemsiz nedenlerle mahkum olmadığına bakmaya değer).

Ayrıca, Ken Regan’ın vatandaşlığa kabul engeli ile ilgili bazı açıklamalar içeren GCT’nin açıklamasını da kontrol etmek isteyebilirsiniz .