Teorik CS ne zaman (ya da gerekir) sezgisel kanıtları önemser?

Anladığım kadarıyla (çok az, bu yüzden lütfen beni yanlış yaptığım yerde düzeltin!), Programlama dilleri teorisi genellikle "sezgisel" kanıtlarla ilgilidir. Kendi yorumuma göre yaklaşım, hesaplamanın mantık ve erişilebilirlik üzerindeki sonuçlarını ciddiye almamızı gerektirir . Bir hipotezin sonuçlarını ortaya çıkaran bir algoritma olmadığı sürece bir kanıt bulunamaz . O da bazı nesne sergiler, çünkü, örneğin, bir belit olarak hariç orta ilkesini reddedebilir veya nonconstructively.¬ $X$$\lnot X$

Yukarıdaki felsefe, sezgisel olarak geçerli olmayan kanıtları tercih etmemize yöneltebilir. Bununla birlikte, teorik CS'nin diğer alanlarındaki makalelerde sezgisel mantığı kullanma konusunda herhangi bir endişe görmedim. Sonuçlarımızı klasik mantığı kullanarak kanıtlamaktan mutluluk duyuyoruz. Örneğin, bir algoritmanın doğru olduğunu kanıtlamak için dışlanan orta prensibin kullanılması düşünülebilir. Başka bir deyişle, sonuçlarımızda hesaplamalı olarak sınırlı bir evreni önemsiyoruz ve ciddiye alıyoruz, ancak bu sonuçların kanıtlarını illa ki.

1. Teorik CS'deki araştırmacılar, sezgisel olarak geçerli ispatlar yazmaktan hiç endişe duyuyorlar mı? TCS'nin, özellikle de algoritmik olanların, sezgisel mantıkta (veya olmadıklarında daha ilginç olarak) ne zaman ortaya çıktığını anlamaya çalışan bir teorik bilgisayar bilimi alt alanını kolayca hayal edebiliyorum. Ama henüz hiçbirine rastlamadım.

2. Yapmaları gereken herhangi bir felsefi argüman var mı? Bilgisayar bilimi sonuçlarının mümkün olduğunda sezgisel olarak kanıtlanması gerektiğini ve hangi sonuçların örneğin PEM gerektirdiğini bilmemiz gerektiği iddia ediliyor gibi görünüyor . Kimse böyle bir tartışma yapmaya çalıştı mı? Veya belki de bu sorunun çok önemli olmadığı konusunda bir fikir birliği var?

3. Bir yan soru olarak, bunun gerçekten önemli olduğu vakaların örneklerini bilmek istiyorum: Klasik mantıkta tuttuğu bilinen ancak sezgisel mantıkta bulunmadığı bilinen önemli TCS sonuçları var mı? Ya da sezgisel mantıkta yer almadığından şüpheleniliyor.

Sorunun yumuşaklığı için özür dilerim! Uzmanlardan haber alındıktan sonra yeniden değerlendirilmesi veya yeniden yorumlanması gerekebilir.

Yorumlarda dediğim gibi, sezgisel mantık ana nokta değil. En önemli nokta yapıcı bir kanıtı olmasıdır. Martin-Löf'in tip teorisinin programlama dili teorisiyle sezgisel mantıktan çok daha anlamlı olduğunu düşünüyorum ve Martin-Löf'in çalışmasının yapıcı matematiğe olan genel ilginin canlanmasının ana nedeni olduğunu iddia eden uzmanlar var.

Yapıcılığın hesaplanabilirlik yorumu olası bir bakış açısıdır, ancak tek değildir. Yapıcı kanıtları klasik kanıtlarla karşılaştırmak istediğimizde burada dikkatli olmalıyız. Her ikisi de aynı sembolleri kullanabilmesine rağmen, bu sembollerle ne ifade ettikleri farklıdır.

Klasik delillerin sezgisel delillere çevrilebileceğini hatırlamak her zaman iyidir. Başka bir deyişle, klasik mantık, bir anlamda sezgisel mantığın bir alt sistemidir. Dolayısıyla bir anlamda klasik ispatları (hesaplanabilir fonksiyonlar kullanarak) söyleyebiliriz. Öte yandan, yapıcı matematiği klasik ortamda bazı matematiksel sistemler olarak düşünebiliriz.

$A \lor B$$A \lor B$$\lor$

$\forall x \ \exists y \ \varphi(x,y)$$x$$y$$\varphi(x,y)$$y$$y$$x$$A$$x$$\varphi(x,A(x))$$A$

Şimdi neden sezgisel mantığı pratikte kullanmıyoruz? Birkaç sebep var. Örneğin, çoğumuz o zihin ayarı ile eğitilmiş değiliz. Ayrıca bir ifadenin klasik bir kanıtını bulmak, yapıcı bir kanıtını bulmaktan çok daha kolay olabilir. Veya yapıcı bir ortamda gizlenmiş ve erişilebilir olmayan düşük seviyeli ayrıntılara önem verebiliriz (ayrıca bkz . Doğrusal mantık ). Ya da yapıcı bir kanıtla birlikte gelen fazladan malları almakla ilgisiz olabiliriz. Kanıtlardan programları çıkarmak için araçlar olmasına rağmen, bu araçların genellikle çok ayrıntılı kanıtlara ihtiyacı vardır ve genel teorisyen için yeterince kullanıcı dostu olmamıştır. Kısacası, çok az yarar için çok fazla acı.

$\Pi^0_2$$PA$$PA$$PA$

Hesaplanabilirlik teorisi kitabının girişindeki Douglas S. Bridges'in , sonuçlarımızı yapıcı olarak kanıtlamamız gerektiğini savunduğunu hatırlıyorum . IIRC'nin esasen aşağıdaki gibi olduğu bir örnek verir:

Büyük bir yazılım şirketi için çalıştığınızı ve yöneticinizden sizden bir sorunu çözmek için bir program istediğini varsayalım. İki programla geri dönmek ve yöneticinize bu iki çözücünün birinin doğru çözdüğünü söylemek kabul edilebilir mi, ama hangisini bilmiyorum?

Sonunda, klasik ve sezgisel mantık için aynı sembolleri kullanmamıza rağmen, bu sembollerin farklı anlamlara sahip olduğunu ve kullanacağımızın ifade etmek istediklerimize bağlı olduğunu unutmamalıyız.

Son sorunuz için, Robertson-Seymour teoreminin klasik olarak doğru olduğunu bildiğimiz bir teorem örneği olacağını düşünüyorum ancak bunun yapıcı bir kanıtı yok. Ayrıca bakınız

• Yapıcı olmayan algoritma varlık kanıtları var mı?

NEDEN sezgisel mantığını hesaplamanın doğal mantığı olduğunu düşünmeye değer, çünkü çoğu zaman insanlar teknik detaylarda kayboluyorlar ve konunun özünü kavrayamıyorlar.

Çok basit bir şekilde, klasik mantık mükemmel bir bilgi mantığıdır: sistemdeki tüm ifadelerin açıkça doğru veya yanlış olarak bilindiği veya bilindiği varsayılmaktadır.

Öte yandan, sezgisel mantığın bilinmeyen ve bilinmeyen doğruluk değerleri olan ifadelere yer vardır. Genel hesaplamada fesih kararsızlığı sayesinde, bazı ifadelerin doğruluk değerinin ne olacağı ya da bir doğruluk değerinin belirli ifadelere verilip verilemeyeceği her zaman kesin olarak belli olmayacaktır. .

$\neg\neg P \implies P$

Benim düşünceme göre, bu "anlamsal" sebepler, hesaplama için sezgisel mantığın kullanımı için, kişinin herhangi bir teknik nedeninden daha marifetli bir motivasyon kaynağıdır.

MD5 ve SHA gibi gerçek dünya şifreleme karma fonksiyonları anahtarsızdır. Bu nedenle, teorik şifrelemeden güvenlik konusundaki aklına tekniklerin uygulanmasını oldukça zorlaştırır. Bunun basit bir nedeni: Herhangi bir anahtarsız karma fonksiyon için, bu karma fonksiyonun altında çarpışma çıkaran çok küçük bir program / rakip vardır; yani, böyle bir çarpışmaya sahip bir program - olması gereken! - kodlanmış.

Phil Rogaway'in İnsan Cehaletini Biçimlendirmesi: Anahtarlar olmadan Çarpışma Dirençli Hashing bu sorunla ilgilenir. Anahtarlanmış hash fonksiyonları için bazı çok standart teoremlerin (Merkle-Damgård inşaatı ve hash-o zaman-imza paradigması gibi) uyarlanmamış hash fonksiyonlarına uygulanan "sezgisel-dostu" teorem ifadeleriyle uyarlanabileceğini ve yeniden kanıtlanabileceğini göstermektedir.

işte bu, Sezgisel Mantık üzerine, kapsamlı bir çevrimiçi kitap olan Logic for Computer Science , 300pp'den güzel bir bölüm . [1] sec 9.5, p210, p220'deki özet:

Sezgisel mantık, yapıcı olmayan varoluş kanıtlarını ya da dışlanan orta yasasına dayananları reddeden matematikteki yapılandırmacı hareketten doğdu. Son zamanlarda, sezgisel matematik ve programlama arasındaki bağlantı, önermelerin ve türlerin (programlama anlamında) eşdeğer olduğu gözleminden ortaya çıkmıştır. Doğal çıkarımlara dayanan bu biçimsel sistemdeki algoritma gelişimi, mantıksal gösterime bir spesifikasyon yazmaktan ve bunun bir tür olduğunu düşünerek boş olmadığını kanıtlamaktan ibarettir. Altta yatan mantık yapıcı olduğundan, gerçekleştirilebiliyorsa ispat,

yakınlarda bir başka bakış açısı, temelde “sezgisel matematiğin fizik için iyi olduğunu” öne süren “Matematik ve hesaplama; bilgisayarlar için matematik” [2] üzerine yazan TCSist Andrej Bauer'dan geliyor. Sunum temel olarak fizik anlamındadır, ancak CS'yi fizikle sıkı bir şekilde bir araya getirdiğini düşünenler için ideoloji genel olarak TCS'ye taşınacaktır.

Hesaplamalı yorumlama. Bu, bilgisayar bilimlerinde sıkça sunulan sezgisel mantığın yorumudur. Tüm kümeleri uygun veri yapılarıyla temsil edilen bir bilgisayar bilimci için makul bir bakış açısı ile görüyoruz. Ardından gerçeğine tanık olan bir program (hesaplama kanıtı) varsa, doğru olduğu kabul edilir.

[1] Bilgisayar Bilimi, Reeves ve Clark Mantığı

[2] Fizik Bauer için sezgisel matematik