Schwartz – Zippel lemmasının alternatif kanıtları

Sadece Schwartz-Zippel Lemması'nın iki kanıtının farkındayım. İlk (daha yaygın) ispat wikipedia girişinde açıklanmaktadır . İkinci kanıt Dana Moshkovitz tarafından keşfedildi.

Büyük ölçüde farklı fikirler kullanan başka kanıtlar var mı?

İşte geometrik bir kanıt için sahip olduğum başka bir fikir. Projektif geometriyi temel bir şekilde kullanır.

Let $c \in \mathbb F^m$ hiperyüzey dışında bir benzeşik noktası $S$ . Hiper yüzeyini $c$ olarak merkez olarak kullanarak sonsuzlukta hiper düzlem üzerine yansıtın ; yani, her p ( x $x \in S$ üzerine eşleştirin , benzersiz çizginin c ve x boyunca sonsuz çizgideki hiper düzlemle kesişmesini sağlayın. Sonsuzluk noktasının p altındaki ön görüntüleri aynı çizgide uzanır ve bu nedenle (sorunu tekrar boyut 1'e indirgeyen) bunların çoğu d . Sonsuzluktaki hiper uçağın kardinalliği var | F m -$p(x)$$c$$x$$p$$d$, bu yüzden tanıdık üst sınırdan alıyoruz | S | ≤d | F m - 1 | .$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Per Vognsen'in cevabının takipçisi olarak Dana Moshkovitz'in kanıtı, Schwartz-Zippel Lemma'nın sadece biraz daha zayıf bir sürümü için gerçekten kolay bir kanıt olduğunu öne sürüyor, sanırım çoğu uygulama için yeterli.

Let derece arasında bir sıfır olmayan polinom d , F sırası sonlu bir alan olan q ve izin x ∈ F , n bir nokta olacak şekilde f ( x ) ≠ 0 . Vardır ( q , n - 1 ) / ( q - 1 ) içinden geçen bir çok farklı hat x , öngörülmüş bölümü olduğu F N - { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. Kısıtlama bu çizgilerin her biri için bir derece olduğunu d değişkenli en sıfırdan farklı olduğu için, sıfır olmayan polinom, x , ve bu yüzden, en sahip d sıfır. Bu nedenle, f'nin toplam sıfır sayısı en fazla d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) olur . Schwartz-Zippel, karşılaştırma için, daha güçlü üst sınırı verir d q, n - 1 .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Bu kanıtın kolaylığı göz önüne alındığında, bunun folklor olduğuna eminim; değilse, olması gerekir :) Birisi bir başvuru sağlayabilir eğer takdir ediyorum.

Moshkovitz'in kanıtı basit bir geometriye dayanıyor ancak kağıt bu konuda net değil. İşte fikir:

Bir derece polinom m 'de bir hiperyüzeyin üzerinden değişkenler kesimler F m . Hiper yüzeyin kesişimi ve bağımsız bir çizginin (yani kesişimin tamamı değil) en fazla d noktasına sahiptir. Eğer hiperyüzeyin her yerde bağımsız bir yön bulabilir varsa, bol yapraklı olabilir F m her satırı içinde bu yönü ve sayım kavşaklarda paralel çizgilerle. Yapraklanması bir hiper izomorf yöndür ortogonal tamamlayıcı parametreli F m - 1 tamamında hiperyüzey noktalarının sayısı, yani K m en olduğunu d | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Bu, benzer çizgilerdeki diğer kanıtların işe yarayabileceğini göstermektedir.

Düzenleme: Arnab'ın kanıtının Moshkovitz'inkiyle ne kadar ilgili olduğunu biraz söylemek istedim. Hiper yüzeyin dışında bir nokta alır ve bu noktadan itibaren çizgilerin kalemini dikkate alır. Moshkovitz, paralel çizgilerden oluşan bir aileyi ele alıyor. Farklı görünüyor ama gerçekten aynı şey! Paralel bir aile, sonsuzluktaki bir noktadan geçen çizgilerden oluşan bir kalemdir. Eğer polinomun homojenizasyonunu ilk önce alırsanız ve hiper düzlemle sınırlandırırsanız , tüm öncü terimleri yok eden tararsanız Arnab'ın cebiri sözlü olarak uygulanır .$w = 0$

Düzenleme: Yeni (ama tamamen ilgisiz) bir kanıt için diğer cevabımı görün.

Girişimi 1:

Arora / Barak'ın kitabındaki Lemma A.36 (sayfa 529) 'a baktınız mı? Neredeyse yarım sayfa ve indüksiyon dayanmaktadır.

Kitaba erişimin yoksa, ispatı burada yapabilirim.

2. girişimi:

Peki ya Schwartz-Zippel Lemma'nın Meraklı Tarihi ? Diğerleri arasında, 1977 yılına dayanan DeMillo-Lipton'un kağıdına atıfta bulunuyor . Diğer bazı makaleler da adlandırılmış ve karşılaştırılmıştır.

Deneme 3:

Aşağıdaki MathOverflow konusu da ilgi çekici olabilir: Polinom kimliği testi için P / poli algoritması .

Schwartz-Zippel lemması, bu yazının 4. Bölümünde gösterildiği gibi, Noga Alon ve Zoltan Füredi teoreminin özel bir halidir: Sonlu Bir Izgarada Polinom Sıfırları Üzerine ve bu teoremin yeni bir kanıtı Schwartz'ın yeni bir kanıtını verir. -Zippel. Şu andan itibaren, ikisi kağıtta yer alan altı farklı kanıtı tanıyorum ve diğerleri burada referans alınmaktadır.

Alon-Furedi teoremi şöyle diyor:

Let izin bir alan olabilir A = Π n i = 1 A i ⊂ F N sonlu ızgara olabilir ve izin f ∈ F [ t _ ] = F [ t 1 , ... , t n ] yok olan bir polinom A ile aynı şekilde kaybolur . O zaman f ( x ) ≠ 0 en az min için ∏ y i elementleri x ∈ $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$Minimum tüm pozitif tamsayılar üzerinden alınır burada ile Σ n i = 1 y i = Σ n i = 1 # A ı - C f .$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

Eğer kabul ederseniz ve minimum miktarını hesaplarsanız (bu kağıtta belirtilen Bins'teki Topları kullanarak kolayca yapılabilir), o zaman bir alan üzerinde (veya alan üzerinde) Schwartz-Zippel lemması elde edersiniz. .$\deg f < \min \#A_i$

Schwartz-Zippel lemmasının orijinal formülasyonu sadece alanlar için geçerlidir:

Lemma (Schwartz, Zippel).
Let olmak üzere toplam derece polinom sıfır olmayan d ≥ 0 bir alan üzerinde , F . Let S sonlu bir alt kümesi olması F ve izin r 1 , r, 2 , ... , r , n bağımsız olarak ve eşit olarak rastgele seçilebilir S . Sonra Pr [ P ( $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Kişi lemayı, isteğe bağlı değişmeli halkalar için mantıklı olacak şekilde yeniden düzenleyebilir:

Lemma (Jeřábek).
Let , toplam derece polinom olmayan bir sıfır d ≥ 0 değişmeli halka üzerine, R ' . Let S sonlu bir alt kümesi olması R ile ∀ s , t ∈ S : ( ( ∃ u ∈ R : ( u ≠ 0 ∧ s u = $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$ ve izin r 1 , r, 2 , ... , R , n bağımsız olarak ve eşit olarak rastgele seçilebilir S . Sonra Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

İslâm editörün ispatının avantajı, reformülasyonun burada Emil Jeřbek tarafından farkedilen ve işlenen keyfi değişmeli halkalar için geçerli olduğunu göstermesidir .

Bu, genel değişmeli halkalar için reformülasyonu kanıtlayarak ve alanlar için normal formülasyonu bir sonuç olarak elde ederek Schwartz-Zippel lemmasının alternatif bir kanıtını verir.