Negatif olmayan verilere sahip 0-1 programları için kesin üstel zaman algoritmaları

9

Naif algoritmayı yenen aşağıdaki sorun için bilinen algoritmalar var mı?

Giriş: matris $A$ ve vektörler $b,c$ , burada tüm girişler $A,b,c$ negatif olmayan tamsayılardır.

Çıktı: optimum çözüm $x^*$ için $\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$ .

Bu soru, önceki sorumun rafine bir sürümüdür 0-1 programlama için kesin üstel zaman algoritmaları .

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Austin Buchanan
kaynak

5

sıfır olmayan katsayıların sayısı doğrusal ise , bu sorunu daha kısa sürede çözen bir algoritma vardır . $A$ $n$ $2^n$

İşte böyle. Optimizasyon problemi ve buna karşılık gelen karar problemi arasındaki standart bağlantıyı kullanıyoruz. Test için bir çözüm olup olmadığı burada ve , bir karar sorun oluşturur: Daha kısıtlaması bitişik olacak matrisi ve test olmadığını herhangi vardır öyle ki ve . Özellikle, yeni bir matris oluşturacak alarak içeren ve fazladan bir satır ekleme , ve oluşturacak alarak $x$ $Ax\le b$ $c^T x \ge \alpha$ $c^T x\ge \alpha$ $A$ $x$ $Ax \le b$ $-c^T x \le -\alpha$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ ve ile fazladan bir satıra bitişik . Biz bir karar problemi edinin: orada mevcut mu öyle ki ? Bu karar sorunun cevabı bize, orijinal değer optimizasyonu problemine veya daha büyük bir çözüm olup olmadığını söyler . Açıklandığı gibi Ayrıca için önceki sorunun cevabı , bu karar sorunu az çözülebilir sıfır olmayan katsayı sayısının ise, zaman lineerdir (ve bu yüzden, olmayan sayısı sıfır katsayıları ) ' de lineerdir . Şimdi üzerinde ikili aramayı kullanabiliriz $-\alpha$ $x \in \{0,1\}^n$ $A' x \le b'$ $\alpha$ $2^n$ $A'$ $n$ $A$ $n$ $\alpha$ optimizasyon probleminizi daha kısa sürede çözmek için . $2^n$

AustinBuchanan ve Stefan Schneider'a bu cevabın önceki bir versiyonunda hata ayıklamaya yardımcı oldukları için teşekkür ederim.

— DW
kaynak

Daha güçlü bir cevap verebilir misiniz: "bir zaman algoritması var" veya " den daha hızlı bir algoritma çözülecektir ..." gibi?

O (2^{n / 2})

$O(2^{n/2})$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Austin Buchanan

@AustinBuchanan, boyutlarının sayısı yeterince küçükse , diğer soruya verdiğim yanıtta belgelendiği gibi bir algoritması vardır . Nasıl yapılacağını bildiğim en iyisi bu; Bundan daha iyisini nasıl yapacağımı bilmiyorum. Belki başkaları daha güçlü bir cevap verebilir!

b

$b$

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$

— DW

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$ kısıtlama sayısı olduğunda ne kadar zaman kalır ?

O (1)

$O(1)$

— Austin Buchanan

4

Minimizasyon problemini ele , aşağıdaki azalma ) zamanında çalışan bir algoritmanın olduğunu gösterir. için SETH'yi çürütür. Bir reformülasyon, amaçlanan sorun için aynı sonucu kanıtlamaktadır (maksimizasyon sürümü). $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$ $O(2^{\delta n/2})$ $\delta <1$

Bir örnek verilen değişkenlerle CNF-SAT , formüle 0-1 IP iki değişken ile SAT örneğindeki her bir değişkeni için . Her zamanki gibi, madde , olarak temsil edilir . Ardından SAT örneğindeki her değişkeni için , sınırlaması ekleyin . Amaç yi en aza indirmektir . IP objektif olacaktır SAT örneği IFF karşılanabilir olduğunu. $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$ $\{x_j \}_{j=1}^n$ $y_j, \overline{y}_j$ $x_j$ $(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ $y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$ $x_j$ $y_j + \overline{y}_j \ge 1$ $\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$ $n$

Düzeltme için Stefan Schneider'a teşekkürler.

Güncelleme: CNF-Sat kadar zor problemler üzerine yazarlar SET COVER'in , zamanında çözülemeyeceğini düşünüyorlar , burada kümelerin sayısını ifade ediyor. Doğruysa, sorunum zamanında da çözülemez . $O(2^{\delta n})$ $\delta <1$ $n$ $O(2^{\delta n})$

Anlarım kadarıyla, SETH varsayarak, sorunum süresi içinde çözülemez 2. Farklı güncelleyin o zamandan beri, gösterilmiştir (boyut bir zemin seti ile Set vurmak o ) olamaz zaman içinde çözüldü . $O(2^{\delta n})$ $n$ $O(2^{\delta n})$

— Austin Buchanan
kaynak

3

Değişken sayısını ikiye katladığınız için, bunun yalnızca çalışma zamanı ile ilgili bir algoritmanın SETH ile çelişeceğini gösterdiğini düşünüyorum.

O (2^{δ n / 2})

$O(2^{\delta n/2})$

— Stefan Schneider

Bekleyin ... CNF-SAT Kadar Zor Sorunlar'daki yazarlar, "her , Set isabet için bir algoritmasının SETH'i ihlal edeceğini" belirtir. Bu çalışmıyor mu?

ϵ < 1

$\epsilon <1$

O (2^{ϵ n})

$O(2^{\epsilon n})$

\dots

$\dots$

— Austin Buchanan