PLS'deki bir sorun için yerel optima sayısını saymak ne kadar zor?

Bir İçin polinom yerel arama sorunu , biz en az bir solüsyon (yerel optimum) mevcut gerektiğini biliyoruz. Bununla birlikte, daha birçok çözüm mevcut olabilir, PLS-komple bir problem için çözüm sayısını saymak ne kadar zor? Ben am özellikle ilgi karar probleminde: Bu PLS tamamlama Sorunun örneği iki veya daha fazla çözüm var mı?

Karmaşıklık, hangi PLS-complete sorununu seçtiğimize bağlı mı? Eğer öyleyse özellikle 2SAT ağırlıklı olarak ilgilenirim ([SY91] ve [Rou10] 'da tanımlandığı gibi). 2SAT için tatmin edici çözümlerin sayılmasının # P-tam olduğunu biliyorum, ancak ilk bakışta ağırlıklı 2SAT'ın yerel optima'sı ve 2SAT için çözümlerin çok fazla ortak noktası yok gibi görünüyor.

PLS'nin kuzeni PPAD için de [CS02] Nash dengesinin sayılmasının # P-zor olduğunu gösterdiğini biliyorum. Bu, tıkanıklık oyunlarında saf strateji dengesinin sayılması gibi benzer PLS sorunlarının da zor olacağını düşündürmektedir.

Referanslar

Conitzer, V. ve Sandholm, T. (2002). Nash dengesi ile ilgili karmaşıklık sonuçları. IJCAI-03 . cs / 0205074 .

[Rou10] T. Roughgarden. (2010). Hesaplama dengesi: Hesaplama karmaşıklığı perspektifi. İktisat Teorisi , 42: 193-236.

AA Schaeffer ve M. Yannakakis. (1991). Çözülmesi zor olan basit yerel arama sorunları. SIAM Bilişim Dergisi , 20 (1): 56-87.

Sorunuza kısmen cevap verebilirim: PLS-tam bir arama sorununun yerel optima'sını saymak gerçekten # P-hard olabilir.

İlk olarak, Yoshio'nun belirttiği gibi, PLS'de ilişkili sayım sorunu # P-tamamlanmış bir arama problemi P 1 vardır. ( Ancak P 1'in PLS-tamamlanmış olup olmadığını bilmiyoruz .)$P_1$$P_1$ P 2'nin PLS-tamamlanmış bir sorun olmasına. Daha sonra tanımlamak P ' girişi olan, ( X , i ) için i ∈ { 1 , 2 } , giriş için yerel bir optimum sorar x göre P i . Bu sorun P 1 , P 2'nin PLS üyeliğini devralır$P_2$$P'$$(x, i)$$i \in \{1, 2\}$$x$$P_i$$P_1, P_2$Ait PLS-eksiksiz devralan P 2 , ve sayım sorun için içinde p-eksiksiz devralan P 1 .$P_2$$P_1$

Benzer şekilde, birden fazla yerel optimum olup olmadığına karar vermenin NP-tam olduğu bir (yapay) PLS-tam problemi oluşturulabilir. Önceki bağımsız değişken olarak, bir "birlikte zımba" PLS-tam problem p 1 PLS sorun, daha önce olduğu gibi P 2 girişine bir Boole formülü, ψ IFF, birden fazla bağlı lokal en uygun durumları vardır ψ karşılanabilir olduğu.$P_1$$P_2$$\psi$$\psi$

Bu tür yapılar biraz tatmin edici değildir, çünkü iki sertlik özelliğine sahip bir arama problemi Q oluşturmaya çalışıyoruz , ancak Q "her biri iki özellikten sadece birine sahip olabilen iki parçaya ayrılıyor". Bir arama sorun verilen nasıl göstereceğiz altında P 1 , ilişkili sayaç sorun, # P-tamamlandığında PLS ve PLS-tam problem verilen P 2 , tek bir PLS sorun tanımlayabilir Q hem sayma kadar sert olan P 1 ve aramak P 2 "Kopya-by-örneğin" moda.$Q$$Q$$P_1$$P_2$$Q$$P_1$$P_2$

Şöyle ki, sergilemek olacak S sayım sorununun çözümü için bu gibi P 1 girişi x verimli sayım sorunu çözmek için azaltır Q girişi x ve arama sorun P 2 girişine x arama sorununa azaltır Q ile x girişi .$Q$$P_1$$x$$Q$$x$$P_2$$x$$Q$$x$

Resmin basitliği sağlamak için, kabul P 1 , p 2 gibi olduğu bir girişi x uzunluğu N , ilişkili aday çözeltisi alanı $P_1, P_2$$x$$n$$x$ bit katarı üzerinde y uzunlukta N c bazıları için c (ama farklı bir mahalle yapıları ile P 1 , P 2 ). Let F ı ( x , y ) ile ilişkili uygunluk fonksiyonu olarak P i .$y$$n^c$$c$$P_1, P_2$$F_i(x, y)$$P_i$

X ∈ { 0 , 1 } n girişinde , Q için arama alanı , her y i'nin bulunduğu tuplelerin üzerindedir ( y 1 , y 2 , z , b ) .$x \in \{0, 1\}^n$$Q$$(y^1, y^2, z, b)$$y^i$ { 0 , 1 } , n C , z ∈ { 0 , 1 } n c + 1 ve b ∈ { 0 , 1 $\{0, 1\}^{n^c}$$z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$$b \in \{0, 1\}$. Q için uygunluk fonksiyonu F ( x , ( y 1 , y 2 , z , b ) ) olarak ,$F(x, (y^1, y^2, z, b))$$Q$

F ( x , ( Y 1 , Y 2 , z , b ) ) : = F 1 ( x , y 1 ) + F 2 ( x , y 2 ) , eğer b = 1 , $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$$b = 1$

F ( x , ( Y 1 , Y 2 , z , b ) ) : = | | y 1 | | + | | z | | + F 2 ( x , y 2 ) , eğer b = 0 .$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$$b = 0$

(Bu Hamming'in ağırlığı.)

Q'nun mahalle yapısı için, her bir tupu ( x , ( y 1 , y 2 , z , 1 ) ) ( b = 1 ile ) tüm tuple'lere ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 bağlarız , z ′ , 1 ) ) öyle ki$Q$$(x, (y^1, y^2, z, 1))$$b = 1$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(A) ( x , y i ) bağlı olan ( x , ( Y ' ) i ) e göre P i için i = 1 , 2 , ve$(x, y^i)$$(x, (y')^i)$$P_i$$i = 1, 2$

(B) z , z ′ en fazla 1 koordinatta farklılık gösterir.$z, z'$

İle küpe için b = 0 , bağlayan, ( x , ( Y 1 , Y 2 , z , 0 $b = 0$ ) bütün dizilerini için ( x , ( ( Y ' ) 1 , ( y ' ) 2 , z ' , 0 ) ) , örneğin o$(x, (y^1, y^2, z, 0))$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

(A ') ( X , Y 2 ) bağlı olan ( x , ( y ' ) 2 ) göre P 2 , ve$(x, y^2)$$(x, (y')^2)$$P_2$

(B ') z , z ′ , y 1 , ( y ′ ) 1 gibi en fazla 1 koordinatta farklılık gösterir .$z, z'$$y^1, (y')^1$

(Not, b = 0 olan tuple'lerin b = 1 olanlarla bağlantısı kesilir .)$b = 0$$b = 1$

Q'nun tanımı budur . Mahalleler gerektiği gibi polinom büyüklüğündedir, bu nedenle Q PLS cinsindendir. $Q$$Q$

Talep: Q'ya göre uzunluk x n girişi için yerel optima tam olarak aşağıdaki iki ayrık settir:$n$$x$$Q$

(1) tüm demetlerin ( x , ( Y 1 , Y 2 , z , 1 ) ) , ( x , y i ) yerel bir uygun olan P i her biri için i = 1 , 2 (ve Z , isteğe bağlı ve b = 1 ); ve,$(x, (y^1, y^2, z,1))$$(x, y^i)$$P_i$$i = 1, 2$$z$$b = 1$

(2) tüm demetlerin ( x , 1 , n C , Y 2 , 1 , n , 0 ) ) , ( x , y 2 ) bir lokal optimumdur P 2 , ve burada Z , Y 1 , hem her 1s, ve b = 0 .$(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$$(x, y^2)$$P_2$$z, y^1$$b = 0$

Kabul durumunda, daha sonra PLS-sertliği Q , hemen herhangi bir yerel optimum yana ( x , ( y 1 , y 2 , z , b ) ) arasında Q girişi için x yerel optimum verir ( X , Y 2 ) arasında P 2 (aynı x girişi için ) ve P 2 PLS serttir.$Q$$(x, (y^1, y^2, z,b))$$Q$$x$$(x, y^2)$$P_2$$x$$P_2$

Ayrıca, Talebimiz, Q altında x için yerel optima'nın N ( x ) sayısının ( 2 n c + 1 N 1 ( x ) + 1 ) ⋅ N 2 ( x ) 'e eşit olduğu, burada N i ( x )' in P i altındaki x için yerel optima sayısı . Şimdi , N 2 ( X ) aralığındadır [ $N(x)$$x$$Q$$(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$N_i(x)$$x$$P_i$$N_2(x)$, 2 n c ] , yani$[1, 2^{n^c}]$

N 2 ( x ) = N 2 ( x ) mod 2 n c + 1 = ( 2 n c + 1 N 1 ( x ) + 1 ) ⋅ N 2 ( x ) mod 2 n c + 1 = N ( x ) mod 2 n c + 1 .$N_2(x) = N_2(x)$$2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$2^{n^c + 1} = N(x)$$2^{n^c + 1}$

Alırız yüzden N 2 ( X ) verilen , N ( X ) . Sonra basit cebir ile N 1 ( x ) elde edebiliriz : N 1 ( x ) = ( N ( x $N_2(x)$$N(x)$$N_1(x)$K 2 ( X ) -1)/2Nc+1. OlarakK1(x), # P-tam bilgi işlem için, bu yüzden birN(X). Bu nedenle, P-tam yerel optima saymak #Q(ve saymaP1için sayma azaltırQaynı örnek üzerinde). $N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$$N_1(x)$$N(x)$$Q$$P_1$$Q$

PLS-sertliği ile NP-sertliği yerel optima'nın benzersizliğini "örnek-örnek" bir şekilde kararlaştırmak için böyle bir azaltmayı nasıl yapacağımı bilmiyorum.

Her PLS tam arama probleminin # P tam sayım problemi verip vermediğine gelince , bunu da bilmiyorum. Bu gibi görünüyor , her NP-tam bir karar problemi L ve doğrulayıcı her polytime için, sorusuna ilişkin V ( X , Y ) için L , ilgili tanık sayma sorun, # P-tamamlanır. # P-tamlık, insanların düşündüğü tüm özel durumlarda ve makul derecede hafif koşullarda, ancak genel olarak açıktır. Bu tartışmaya bakın .$V(x, y)$$L$

PLS-tam olduğu bilinen spesifik, daha doğal bir sorun olan Q için, saymaya uygun bazı özel özelliklere sahip olan S Eşleştirme'den Q'ya bir PLS azalması vererek yerel optima sayımı için # P-tamlığı oluşturulabilir . Belki mevcut teknikler yeterlidir; Belirlemeye çalışmadım.$Q$$Q$

İki taraflı grafiklerde maksimum eşleme sorununu göz önünde bulundurun. Uygulanabilir çözümler ailesi tüm eşleşmelerden oluşur ve yerel arama, artırıcı yollar bulmak suretiyle gerçekleştirilir. Bir akım eşleşmesi maksimum değilse bir çoğaltma yolu polinom zamanında bulunabildiğinden ve maksimumluk polinom zamanında kontrol edilebildiğinden sorun PLS'ye aittir. Herhangi bir yerel optimum bir maksimum eşleşmedir (yani, küresel optimum). Ancak, iki taraflı bir grafikteki maksimum eşleşme sayısını hesaplamak # P-zordur.

Bir lokal optimum polinom zamanında bulunabileceğinden, problemin PLS-tamamlanmış olması olası değildir. Korkarım ki bu amaçlanan bir cevap değil (sorunuz PLS-tam sorunlarıyla sınırlı). Bununla birlikte, bir yerel optimumun verimli bir şekilde bulunmasına rağmen, yerel optima sayısını saymanın zor olabileceğine dikkat çekmeliyim.