Karmaşıklık teorisinin matematiksel yansımaları TCS dışındaki varsayımlar

Karmaşıklık teorisindeki (standart) varsayımların diğer matematik alanlarındaki (yani teorik bilgisayar bilimi dışındaki) ilginç sonuçlarını biliyor musunuz?

Cevapları tercih ederim nerede:

• karmaşıklık teorisi varsayımı mümkün olduğunca genel ve standarttır; Belirli sorunların sertliğinin sonuçlarıyla da iyiyim, ancak sorunların çok zor olduğuna inanılıyorsa (ya da en azından birkaç makalede daha fazla çalışılmışsa) iyi olurdu.

• ima, koşulsuz olarak doğru olmadığı bilinen bir ifadedir veya bilinen diğer kanıtlar oldukça daha zordur.

• bağlantı ne kadar şaşırtıcı olursa, o kadar iyidir; Özellikle, uygulama açıkça algoritmalar hakkında bir ifade olmamalıdır

"Domuzlar uçabilseydi, atlar şarkı söylerdi", uçan domuzlar karmaşıklık teorisinden geldiği ve bilgisayar bilimleri dışındaki bir matematik alanından da şarkı söyleyen atlar geldiği sürece, bağlantı türleri de uygun.

Bu soru, bir anlamda , matematiğin bilgisayar bilimlerinde şaşırtıcı kullanımıyla ilgili bir sorunun "ifadesi" dir . Dick Lipton'un tam da bu satırlar boyunca bir blog yazısı vardı : Faktoringin büyük devre karmaşıklığına sahip olduğu varsayımının sonuçları hakkında yazıyor. Sonuç olarak, bazı diophantine denklemlerinin çözümü yoktur, koşulsuz olarak ispatlanması çok zor bir tür ifade vardır. Yazı, Dan Boneh ile çalışmaya dayanıyor ancak bir makale bulamıyorum.

EDIT: Josh Grochow'un yorumlarda belirttiği gibi, TCS'nin klasik matematiğe uygulamaları ile ilgili sorusu yakından ilişkili. Benim sorum, bir yandan, daha izin verici, çünkü “klasik matematik” kısıtlamasında ısrar etmiyorum. Bence en önemli fark, karmaşıklık varsayımından TCS dışındaki bir matematik alanındaki bir ifadeye kadar kanıtlanmış bir sonuç üzerinde ısrar ediyorum. Josh'un sorusuna verilen cevapların çoğu bu türden değil, bunun yerine, klasik matematikte, TCS tarafından geliştirilen veya esinlenen teknik ve kavramları verir. Yine de, Josh'un sorusuna en az bir cevap soruma mükemmel bir cevaptır: Michael Freedman'ın makalesibenimkine benzer bir soru ile motive olmuş ve düğüm teorisinde, bir teoremi ispatlamıştır . Teoreminin, düğüm teorisindeki güncel tekniklere ulaşamadığı görülüyor. teoremine göre, eğer o zaman polinom hiyerarşisi çöker, bu nedenle varsayım oldukça makul olur. Diğer benzer sonuçlarla ilgileniyorum.$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

İşte grafik teorisinden başka bir örnek. Her sınıf için teoremi bize söyler grafik minör, küçükler altında kapalı olan yönsüz grafikler, sonlu bir tıkanıklık seti vardır bir grafiktir bu şekilde de eğer ve sadece de bir küçük gibi bir grafik içermiyorsa . Bununla birlikte, grafik minör teoremi doğal olarak yapıcı değildir ve bize bu engel kümelerinin ne kadar büyük olduğu, yani belirli bir seçeneği için kaç tane grafik içerdiği hakkında hiçbir şey söylemez .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

In Çok Fazla Minör al Obstrüksiyonlarında , Michael J. Dinneen makul karmaşıklık teorisi varsayım altında, bu tür tıkanıklığı setleri birkaç boyutları büyük olduğu gösterilmiştir edilebileceğini gösterdi. Örneğin, en çok cinsine ait grafiklerin sınıfını göz önünde bulundurun . Gibi arttıkça, biz tıkanıklığı setleri bekleyebiliriz daha karmaşık hale gelir ama ne kadar bu kadar mı? Dinneen polinom hiyerarşi üçüncü seviyeye çökmeyen ise o zaman polinom olmadığını göstermiştir o sayısı engel böyle ile sınırlanan$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$. Cinsi sıfıra (yani düzlemsel) sahip olmak için küçük engellerin sayısı sadece iki ( ) olduğundan, bu süper polinom büyüme hemen belli değil (koşulsuz olarak ispatlanabileceğine inanıyorum). Dinneen sonucundan hakkında güzel bir şey tekabül tıkanıklığı setlerinin boyutları için de geçerlidir olmasıdır herhangi minör ideallerinin parametreli seti en küçük karar vermek için kendisi için NP olduğu zor; Bu tür parametrelenmiş küçük ideallerin hepsinde, engel kümesi boyutlarının süperpolimer olarak büyümesi gerekir. $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$ kG∈ G$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

İşte bir örnek: Arora, Barak ve Ge tarafından finansal ürünlerde hesaplama karmaşıklığı ve bilgi asimetrisi, türevleri doğru bir şekilde fiyatlandırmanın hesaplama açısından zorla alınabileceğini (yani NP-hard) olduğunu gösteriyor - en yoğun alt yazıyı gömülü bir problem olarak kullanıyorlar.

Aynı çizgide ve daha önce, Bartholdi, Tovey ve Trick'in seçimlerin manipüle edilmesinin zor olduğu konusundaki ünlü makale var .

Sasho'nun önerdiği gibi, " TCS'nin klasik matematiğe uygulamaları? " Sorusuna cevabım şöyle:

Onun yazıda Eliptik Eğriler üzerindeki düz çizgi programlar ve Burulma İlgi , Qi Cheng Burgisser en ilgilidir -conjecture (Shub ve Smale en bir varyantı eliptik eğri alanında Burulma teoremi ve Masser teoremi için -conjecture¹).$L$$\tau$

Çok kabaca, eğer conjecture doğruysa (veya daha zayıf bir versiyonuysa), bu iki teoremi de kolayca "kolayca" çıkarabilirsiniz. Orijinal kanıtları çok daha zor.$L$

¹ -conjecture bir polinom ise iddia boyutu sabit bir serbest doğrusal programı (veya aritmetik devre) sahip tamsayı kökleri kendi sayısı en fazla olduğu bir mutlak için sabit .p τ ( 1 + τ ) c$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

Karmaşıklık teorik varsayımlarını, örneğin simetrik grubun temsil teorisi gibi şeyleri ispatlamak için kullanabilirsiniz ( bu blog gönderisine bakınız ). Kabaca söylemek gerekirse, simetrik grubunun kelime problemi coNP zor olduğundan, , den küçük olmadıkça , boyutun sadık (yani, sıfat) bir temsiline sahip olamaz. SAT, üstel boyutsal devrelere sahiptir. S 2 k 2 δ $S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

Mike Freedman'ın daha önce bahsettiği makalenin ruhuna çok benziyor.

Birçok TCS karmaşıklığı sınıf ayrımı sorusunun matematiğin üzerinde önemli etkileri olduğu anlaşılmaktadır. Özellikle P =? NP sorusu birçok alanda çok derin bağlantılara sahip görünüyor ve buna matematik de dahil. Bu alanda bazı önemli durumlar:

• 20. yüzyılın başlarında ortaya çıkan Hilberts Nullstellensatz sorununun , P-NP karmaşıklığı ile yakından ilişkili olduğu, örneğin HILBERT'NİN NULLSTELLENSATZ'IN YETERLİLİĞİ VE Shub / Smale'nin "NP ̸ = P?" bu, sürekli bir çalışma alanıdır, örneğin, Bilgisayar Cebiri, Kombinatorik ve Karmaşıklık: Hilbert'in Nullstellensatz ve Margulies'in NP-komple Problemleri .

• Fagins teoremi (wikipedia):

  Fagin teoremi, varoluşsal ikinci dereceli mantıkta ifade edilebilir tüm özelliklerin kümesinin tam olarak karmaşıklık sınıfı NP olduğunu belirten tanımlayıcı karmaşıklık teorisinin bir sonucudur. Turing makinesi gibi bir hesaplama modelini başlatmayan NP sınıfının bir özelliği olduğu için dikkat çekicidir.

  Buradaki P = NP'nin ana / şaşırtıcı ifadesi, tüm ikinci dereceden mantık iddialarının verimli bir şekilde hesaplanabileceği anlamına gelir.

• Diğer bir durum ise çoğunlukla sadece matematiksel terimlerle ifade edilen çeşitli NP tamamlayıcı problemleri olduğudur (örneğin, TM, kavramsızcılık vb. gibi TCS kavramlarına referans yok). Eğer grafik teorisi (oldukça makul) matematiksel olarak kabul edilirse, bu liste çok büyük olabilir. ancak "matematiksel" dar yorumlar bile, örneğin sayı teorisinde durumlara yol açmaktadır.

  Manders ve Adleman tarafından kanıtlandığı gibi , aşağıdaki sorun NP-tamamlayıcısıdır: doğal sayıları verildiğinde , doğal sayısının olup olmadığına karar verin ;x ≤ $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • NP tamamlanmış doğallarda doğal bir sorun mu var? tcs.se
  • sayı teorisi ve NP tam mathoverflow