Hiyerarşi teoremleri olmadan karmaşıklık sınıfı ayrımları

Hiyerarşi teoremleri temel araçlardır. Bunlardan çok sayıda daha önceki bir soruda toplanmıştır (bkz. Hangi hiyerarşi ve / veya hiyerarşi teoremlerini biliyorsunuz? ). Bazı karmaşıklık sınıfı ayrımları doğrudan hiyerarşi teoremlerinden gelir. Bu iyi bilinen ayırma örnekleri: , , , . $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$

Ancak, her ayrım bir hiyerarşi teoreminden kaynaklanmaz. Çok basit bir örnek . Bunlardan herhangi birinin diğerini içerip içermediğini bilmememize rağmen, hala farklıdırlar, çünkü polinom dönüşümlerine göre kapalıdır, ise değildir. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Hangi do üniforma sınıflar için bazı derin, koşulsuz olmayan relativized karmaşıklık sınıf ayrımları vardır değil doğrudan bazı hiyerarşi teoremden izleyin?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
kaynak

Bunun bir aramaya alışılmadık bit olduğunu düşünüyorum

N P \neq E

$NP\neq E$ bir ayrılık. Ayrıca eşitsizlikleri önemsiz nedenlerden dolayıdır ve bize ilginç bir şey söylemez. AFAIK, büyük karmaşıklık sınıfları için tüm ilginç karmaşıklık sınıfı ayrımları, bir noktada hiyerarşi teoremlerine (ve daha sonra köşegenleştirmeye) dayanmaktadır.

— Kaveh

Doğru, önemsiz nedenlerden ötürü

N P \neq E

$NP\neq E$ bir ayrılık demek gerçekten sıra dışı . Sadece hiyerarşi teoreminin gerekmediği basit bir örnek gösterdim.

— Andras Farago

Err, NP ispatı! = E gelmez bir hiyerarşi teoremi bağlıdır! Çalışma şekli, önce NP = E olduğunu varsaymanız, ardından E = EXP'yi çıkarmak için NP'nin kapatma özelliklerini kullanmanız ve böylece Zaman Hiyerarşisi Teoremini ihlal etmenizdir.

— Scott Aaronson

Teşekkürler, Scott, kesinlikle haklısın.

doğru örnek değildi. Cevaplar arasında daha iyi bir mesaj gönderdim.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Dolayısıyla da bu tür eşitsizlikler Hamiltonieninin dayanmaktadır:

ama

. Sonuçta güzel ve çok önemsiz değil.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

Yanıtlar:

Yanlış gösterilmesini isterdim, ancak şu anda nihayetinde hiyerarşi teoremlerinden birine dayanmayan tek tip alt sınırlar olduğunu düşünmüyorum. Tekdüzelikten nasıl yararlanacağımız konusundaki mevcut anlayışımız bu anlamda gerçekten oldukça sınırlıdır.

Öte yandan, doğrudan hiyerarşi teoremlerinden takip etmeyen , ancak diğer akıllı hileler, teknikler ve sonuçlarla birlikte bir hiyerarşi teoremi kullanan birçok düzgün alt sınır vardır :

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Bunlar kanıtlamak (kendi ispat olmayan kösegenlestirilmesi parçası) ve daha sonra aslında kullanan $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ boşluk hiyerarşisiyle birlikte. Sonuçları + uzay hiyerarşisi de . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Memnuniyet için zaman uzayı ödünç verme (bkz. Örneğin Buss-Williams'ın tanıtımları ve buradaki referanslar)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Deterministik zaman hiyerarşisiyle birlikte, daha hızlı dört alternatifli bir makine tarafından herhangi bir deterministik süper doğrusal zaman makinesinin önemsiz bir simülasyonunu kullanır. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Kalıcı üzerinde tekdüze alt sınırlar [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[Williams] (teknik olarak bu üniform olmayan bir alt sınır olmasına rağmen, belirsiz zaman hiyerarşisiyle birlikte bir grup akıllı fikir kullanır) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
kaynak

Ayrılık mı ile Smolensky Aradığınız edilmiş bir şey? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
kaynak

Teşekkür ederim, bu güzel bir sonuç, ama devre sınıflarını değil ,

sınıflarının ayrılmasını arıyorum .

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago

@AndresFarago: Tek tip AC ^ 0 aynı zamanda tek tip TC ^ 0 içine de dahil edilmiştir.

— Emil Jeřábek,

@ EmilJeřábek: tekdüze bir kanıt var mı

düzgün üniforma bulunan

da zaten homojen olmayan deyimi kanıtlamaz? (Değilse, o zaman örneğinizin genel prensibe göre düzgün olmayan alt sınırların düzgün alt sınırlardan daha güçlü olduğu görülüyor ve sanırım OQ bu tür cevaplardan kaçınmaya çalışıyor ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Joshua Grochow

Kanıtlardaki tekdüzelik, bunların hoş bir kombinatoryal / cebirsel anlayışa sahip olduğumuz oldukça küçük sınıflar olmasının ikincil olduğunu düşünüyorum. Yani onları, içinde olmayan bir nesneyi doğrudan inşa edecek kadar iyi anlıyoruz. Daha büyük sınıflar için nerede böyle bir anlayış yoktur ve bu nedenle bildiğimiz tek yöntem, bu tür nesneleri inşa etmek için tüm sınıfa karşı köşegenleştirme yapmaktır.

— Kaveh

Önemsiz bir başka örnek, ortalama vaka karmaşıklığı alanından gelir. Rainer Schuler olarak adlandırdığı sınıfın ilginç özelliklerini ispatlamaktadır , bakınız [1]. $P_{P-comp}$

,herpolinom zamanı hesaplanabilen (P-hesaplanabilir) dağılım için ortalamasıüzerinde polinom zamanında kabul edilen dil sınıfıdır. Doğal olarak, , deterministik bir çoklu zaman algoritmasının varlığı, girdi dağılımı ne olursa olsun, ortalama olarak verimli kaldığını ima eder. Ancak,herP-hesaplanabilir giriş dağılımıiçin ortalama polinom zamanında çalışma koşulu, şüphelenecek kadar güçlü görünmektedir $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ . $P_{P-comp}=P$

Şaşırtıcı bir şekilde, Schuler dil var olduğunu kanıtlamaktadır Turing tamamlama için, , bir, $L\in P_{P-comp}$ $E$ Bu, koşulsuz ayrılmasını ifade eder. İkincisi, Zaman Hiyerarşisi Teoreminden sonra gelen gerçeğini kullanırken,yeni bölüm (*) farklı araçlara dayanmaktadır: köşegenleştirmenin ötesinde, kaynak sınırlamalı ölçü ve Kolmogorov karmaşıklığı kullanmaktadır.

E \subseteq P^{P_{P - c Ö m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

Referans:

[1] R. Schuler, "Ortalama polinom zamanının Doğruluk tablosu kapanışı ve Turing kapanışı EXP'de farklı ölçülere sahiptir", CCC 1996, pdf

— Andras Farago
kaynak