Bir SAT örneğinin çözüm kümesini kompakt bir şekilde temsil eder

Bu soru András Salamon ve Colin McQuillan'ın önceki soruma katkısını okuduktan sonra kafamda yükseldi Monotone-2CNF formüllerinin sayım çözümleri .

DÜZENLEME 30 ^inci Mar 2011
Eklendi sorusuna n ° 2

EDIT'e 29 ^inci Eki 2010
Soru kavramı aracılığıyla resmileştirmek Andras teklifinden sonra rephrased bir çözüm kümesinin güzel temsil (Ben onun düşüncesi biraz modifiye ettim).

Let ile genel bir CNF formülü olmak değişkenleri. Let onun çözüm kümesi olsun. Açıkça,üstel olabilir . Letn S | S | n $F$$n$$S$$|S|$$n$$R$ bir temsili olmak . , ancak aşağıdaki gerçeklerin tümü doğru olması durumunda iyi olduğu söylenir :$S$$R$

1. $R$ , cinsinden polinom büyüklüğüne sahiptir .$n$
2. $R$ çözüm numaralandırmak sağlar polinom gecikmeyle.$S$
3. $R$ belirlemesine olanak sağlarpolinom zamanda (yani tüm çözeltileri numaralandırmadan). $|S|$

Polinom zamanında, her formül için böyle bir inşa etmek mümkün olsaydı harika olurdu .$R$

Sorular:

1. Hiç kimse böyle güzel bir temsilin var olamayacağı bir formül ailesi olduğunu kanıtladı mı?
2. temsili ile sergilediği simetriler arasındaki ilişkiyi inceleyen oldu mu? Sezgisel, simetrileri kompakt temsil etmek yardımcı olacaktır bir çözümün açık temsilini önlemek çünkü alt kümesi olduğunda aslında her gelen yani sadece bir solüsyon (aşağı kaynar Eğer her kurtarabilirsiniz uygun bir simetri uygulayarak her nin kendisi tamamını temsil eder )F S S ′ ⊂ S S ′ s i ∈ S ′ s j ∈ S ′ s i ∈ S ′ S $S$$F$$S$$S' \subset S$$S'$$s_i \in S'$$s_j \in S'$$s_i \in S'$$S'$

Belirtildiği gibi (revizyon 3), sorunun basit bir cevabı vardır: hayır.

Bunun nedeni, AND, OR ve NOT kapıları ile Boole devreleri tarafından verilen oldukça kısıtlı temsil sınıfı için bile, önemsiz alt sınırların bilinmemesi. (Açıkça, temsil eden bir devre de S'yi dolaylı olarak temsil edecektir ve girişleri devreye değiştirerek çözümleri numaralandırmak kolaydır.)$F$$S$

Monoton veya sabit derinlik devreleri gibi daha kısıtlanmış gösterimler için üstel alt sınırlar bilinmektedir. CNF veya DNF formundaki formülleri temsil etmek için üstel alt sınırlar da vardır, ancak bunlar sabit derinlik devrelerinin özel durumları olarak görülebilir. Son olarak, BDD gösterimleri DNF'nin kompakt formları olarak görülebilir, ancak BDD'nin herhangi bir değişken sipariş için üstel boyut gerektirdiği formüller vardır.

Sorunuzu daha kesin hale getirmek için lütfen @ Joshua'nın cevabını biraz ayrıntılı olarak düşünün ve lütfen "her bir çözümü numaralandırmak önemsiz" olarak kastettiğinizi açıklayın.

Düzeltme 4 için BDD boyutu hakkındaki ifadeye dikkat edin. Sorduğunuz şeyin bir kısmı: DNF formüllerinin BDD'lerden daha kompakt bir temsili var mı? "BDD süperpolinom boyutuna sahip" anlamına gelmesine izin verin ", değişken sıralamaya bakılmaksızın B ile aynı işlevi temsil eden her BDD'nin süperpolinom boyutuna sahip" ve "güzel temsil" ifadelerinin, çözümlerin polinom gecikmesi ile numaralandırılmasını sağlayan bir temsil anlamına gelmesine izin verin ". Bu daha spesifik soru şu olur:$B$$B$

BDD'leri süperpolinom boyutuna sahipken bir formül ailesi ve polinom boyutu olan hoş bir temsil var mı?

Bu, sorduğunuz şeyin özünü yakalıyor mu?

[Bu yanıt, 29 Ekim 2010 tarihli Revizyon 6'dan önceki sürüme yanıttı.]

Bence bu soru aşağı yukarı işe yarıyor ancak teknik bir sorun kalıyor. Yani, nasıl resmileştirileceği "sadece bu yapıya bakarak her bir çözümü numaralandırmak önemlidir." (Şu anda ile gelebilir ama sadece bir tane) A belki naif kayıt altına aşağıdaki gibidir: let çözüm kümesi temsilini ifade S ( φ ) ait cp . Şu anda R'den başka bir kısıtlama koymuyorum | R ( φ ) | ≤ p o l y ( n ) nerede $R(\varphi)$$S(\varphi)$$\varphi$$R$$|R(\varphi)| \leq poly(n)$$\varphi$ değişkenli bir CNF'dir . Daha sonra bir algoritma var olmak isteyen bir şekilde bir ( R ( φ ) ) = S ( φ ) ve bir girişi R ( cp ) ) zaman çalışır p O l y ( n , | S | ) .$n$$A$$A(R(\varphi)) = S(\varphi)$$A$$R(\varphi))$$poly(n, |S|)$

Bu resmileştirme altında tek zor durum, süper polinom fakat alt-üstel olduğu durumlardır. Geri kalan durumlar aşağıdaki temsil R ve A algoritması tarafından işlenir : if | S | ≤ s O l y ( n ) , daha sonra izin R ( φ ) = ( 0 , S ) . Eğer | S | ≥ 2 Ω ( n ) sonra R ( φ ) = $S$$R$$A$$|S| \leq poly(n)$$R(\varphi) = (0, S)$$|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ . Bir ( 0 , S ) , sadece çıkış S ve A ( 1 , φ ) sadece hesaplar S den kaba kuvvetle cp . Beri | S | İkinci durumda = 2 Ω ( n ) , bu hala O ( | S | ) zamanında çalışır.$R(\varphi) = (1, \varphi)$$A(0, S)$$S$$A(1, \varphi)$$S$$\varphi$$|S| = 2^{\Omega(n)}$$O(|S|)$

Ancak, bu resmileştirme altında zor vakalar genellikle imkansızdır. Böyle bir Eğer ve A var, bu anlamına gelir p , her bir -zaman-sınırlanan Kolmogorov karmaşıklığı S tarafından sınırlandırılmıştır p O l y ( n ) hemen hemen tüm bebekler yana (saçma, S maksimal sahip p -zaman-sınırlanmış Kolmogorov karmaşıklığı, yani | S | ). (Burada p , | S | ' nın bir fonksiyonu olarak A'nın çalışma süresidir .)$R$$A$$p$$S$$poly(n)$$S$$p$$|S|$$p$$A$$|S|$

Biz ayrıca gerektiriyorsa (Not bu zamanlı çalışma p O l y ( n , | φ | ) , daha sonra sorunun cevabı varsayarak, genel olarak herhangi bir olduğu P ≠ P r o m ı s e U P ise: φ tek bir çözümü vardır, daha sonra bir ( R ( φ ) ) çözmek φ ve zaman çalıştırmak p o l y ( n ) .$R$$poly(n, |\varphi|)$$P \neq PromiseUP$$\varphi$$A(R(\varphi))$$\varphi$$poly(n)$