Deterministik iletişim karmaşıklığı ve bölüm numarası

Arka fon:

Alice ve Bob verilir iletişim karmaşıklık zamanki iki taraf modeli göz önünde $n$ bitlik şeritler $x$ ve $y$ ve bazı Boole fonksiyonu hesaplamak gerekir $f(x,y)$ , burada $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ .

Aşağıdaki miktarları tanımlarız:

$D(f)$ (deterministik iletişim karmaşıklığı $f$ ) Alice ve Bob ihtiyaç işlem iletişim kurmak için bu minimum bit sayısı $f(x,y)$ deterministik.

$Pn(f)$ (bölüm sayısı $f$ ): logaritma bir bölüme monokromatik dikdörtgenler küçük sayıda (ya da ayrık kapak) (taban 2) $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ .

tek renkli bir dikdörtgen , , tüm elemanları üzerinde aynı değeri (yani tek renkli) alacak şekilde $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ bir alt kümesidir . $R \times C$ $f$ $R \times C$

Ayrıca bölüm numarasının, bu sorunun konusu olan "protokol bölüm numarası" ndan farklı olduğunu unutmayın .

Daha fazla bilgi için Kushilevitz ve Nisan'ın metnine bakınız. Gösterimlerinde $Pn(f)$ olarak tanımladığım şey $\log_2 C^D(f)$ .

Not : Bu tanımlar kolayca mantıksal olmayan fonksiyonlar için genelleştirilmiş $f$ çıktısı, $f$ bazı büyük kümesidir.

Bilinen sonuçlar:

$Pn(f)$ nin üzerinde bir alt sınır olduğu $D(f)$ , yani herkes için (Boole veya Boole olmayan) $f$ , olduğu bilinmektedir $Pn(f) \leq D(f)$ . Gerçekten de, için çoğu alt bağlı teknik (veya belki de hepsi? $D(f)$ Aslında alt bağlı $Pn(f)$ . (Herkes bunun tüm alt sınır teknikleri için geçerli olduğunu doğrulayabilir mi?)

Bu bağlantının en çok karesel olarak gevşek olduğu (Boolean veya Boolean olmayan fonksiyonlar için), yani olduğu da bilinmektedir . Özetlemek gerekirse, aşağıdakileri biliyoruz: $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

olduğu varsayılmaktadır . (Bu, Kushilevitz ve Nisan'ın metnindeki açık problem 2.10. İletişim Karmaşıklığında Doğrusal Dizi Yapısı Yanlış ", Eyal Kushilevitz, Nathan Linial ve Rafail Ostrovsky. $Pn(f) = \Theta(D(f))$

Daha kesin olarak, Boole fonksiyonlarının sonsuz ailesi sergiler , bu şekilde . $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

Soru:

Boole olmayan fonksiyonlar için ve arasında en iyi bilinen ayrım nedir ? Hala yukarıda belirtilen faktör-2 ayrımı mı? $Pn(f)$ $D(f)$

V2'de eklendi : Bir hafta içinde cevap alamadığım için, kısmi cevaplar, varsayımlar, kulaktan dolma, fıkra kanıtları vb. Duymaktan da mutluyum.

lower-bounds communication-complexity

— Robin Kothari
kaynak

Eğer emin misin

? Jukna'nın kitabındaki Lemma 3.8 sadece

ve sadece KN durumu

kanıtlamaktadır .

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: Alt sınıra daha yakın fonksiyonlar aradığım için üst sınırı belirtmek konusunda çok dikkatli değildim, ama

elde edilebilir. Troy Lee ve Adi Shraibman'ın "İletişim Karmaşıklığında Alt Sınırlar" başlıklı Teorem 2.2'ye bakınız.

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— Robin Kothari

Yana

için bir iletişim protokol ağaç yaprakları küçük sayı

, daha düşük bir giden ile gelmek mümkün olabilir

teknik olarak

için bir alt sınır değildir . Ancak,

beri

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

, böyle bir alt sınır esasen

nin kesin değerine yakın bir yaklaşım oluşturacaktır.

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— András Salamon

Ayrıca bkz. İlgili cevap cstheory.stackexchange.com/a/3352/109

— András Salamon

Yanıtlar:

Bu soru çözüldü! Bahsettiğim gibi,

, $Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

ancak ya da fonksiyonunun mevcut olduğunu göstermek büyük bir açık problemdi . $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$

Birkaç gün önce, Mika Göös, Toniann Pitassi, Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ) tarafından çözüldü . Onlar tatmin edici bir fonksiyonu olduğunu gösterir. $f$

. $Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

Onlar da tek taraflı sürümü için optimal bir sonuç göster Ben tarafından ifade edeceğiz, sadece dikdörtgenler ile 1-girişler kapak gerekir. de tatmin eder $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

, $Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

ve bunun iki önlem arasında mümkün olan en iyi ilişki olduğunu gösteriyorlar, çünkü tatmin edici bir işlev sergiliyorlar. $f$

. $Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

— Robin Kothari
kaynak

Bu güzel soruyu tamamlıyor!

— András Salamon

üzerindeki alt sınırların mevcut tüm alt sınır teknikleriyle yakından ilişkili olduğunu belirtiyorsunuz . Boolean fonksiyonları için, log-rank varsayımı doğru olduğu sürece bu doğru gibi görünüyor. Bununla birlikte, bağlı olan aptal kümesinden katlanarak daha büyük olabilir. $Pn(f)$ $Pn(f)$

Boolean olmayan durumda ve ne kadar farklı olabileceği net değil . $Pn(f)$ $D(f)$

Geri kalanında bu yorumları daha kesin hale getiriyorum.

KN (1997 ders kitaplarındaki Kushilevitz ve Nisan), Boole işlevleri için üç temel tekniği özetlemektedir: aptal bir kümenin boyutu, tek renkli bir dikdörtgenin boyutu ve iletişim matrisinin sırası.

İlk olarak, kandırmak setleri. Bir ahmaklık grubu monokromatik: bazı vardır , öyle ki her için . Daha sonra, diğer rengi dikkate almak için bazı son yamalara ihtiyaç vardır. Bu ekstra adımdan kaçınılabilir. Let bir fonksiyonu olabilir. Bir çift farklı eleman $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ birzayıf kandırıyorlariçin Eğer anlamına gelir, ya bu veya $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ . Bir dizi a,zayıf kandırıyorlar grubuiçin elemanlarının her ayrı çifti ise zayıf KANDIRIYOR. KN, 1.20 kanıtından sonra zayıf bir aldatıcı setin log-boyutunun iletişim karmaşıklığı için daha düşük bir sınır olduğunu belirtir. $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ $f$ $S$

En büyük zayıf aldatıcı set, her monokrom dikdörtgenden temsili bir elemanı en küçük ayrık set kapağında alır. Bu nedenle, en büyük zayıf kandırıcı setin büyüklüğü, bölüm numarasının (üssü) kadar büyüktür. Ne yazık ki, aldatıcı setlerin sağladığı sınır genellikle zayıftır. KN 1.20 gösterir kanıtı herhangi bir fonksiyon eşleme, her elemanı, zayıf kandırıyorlar seti monokromatik dikdörtgen için bu eleman ihtiva eden birebirdir. Bununla birlikte, görüntüsünde görünmeyen en küçük ayrık kapakta birçok monokrom dikdörtgen olabilir , her elemanı , $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ ve böylece basitçe ilave edilemez . Aslında Dietzfelbinger, Hromkovič ve Schnitger gösterdi (DOI:10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X) her yeterince büyük için bu , en az tüm mantıksal fonksiyonların değişkenleri olan ancak (zayıf) aldatıcı log boyutu setleri vardır. Böylece, en büyük (zayıf) aldatıcı setin büyüklüğünün günlüğü, iletişim karmaşıklığından katlanarak daha küçük olabilir. $S$ $S$ $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

Rütbe için, fonksiyon matrisinin rütbesi ve bölüm numarası arasında yakın bir yazışma oluşturmak, log-rütbe varsayımının bir biçimini oluşturur (yazışmanın sıkılığına bağlı olarak). Örneğin, sabit bir varsa öyle ki her bir Boole fonksiyonu , daha sonra $a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ Ve log-rank varsayım bir tür kendisi için yeni fonksiyonların ailelere tutan sonuçta birlikte artar , herhangi bir için üs ile yeterince büyük olanlar için ulaşılabilir . (Hatırlayın Lovász-Saks log-sıra varsayım sabit olduğu söylüyor öyle ki $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ $c>0$ , her bir Boole işlevi için ; burada iletişim matrisinin sıralaması olan reals fazla). $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

Benzer şekilde, birçok küçük ile birlikte sadece bir tane oldukça büyük monokrom dikdörtgen varsa, bölüm numarası en büyük monokromatik dikdörtgenin log boyutundan daha güçlü bir bağ sağlar. Bununla birlikte, log-rank varsayımı aynı zamanda en büyük monokromatik dikdörtgenin büyüklüğü hakkındaki bir varsayımla eşdeğerdir (Nisan ve Wigderson 1995, doi: 10.1007 / BF01192527 , Teorem 2). Dolayısıyla, tek renkli dikdörtgenlerin kullanılmasının şu anda bölüm numarasını kullanarak "aynı" olduğu bilinmemektedir, ancak log-rank varsayımı geçerliyse bunlar yakından ilişkilidir.

Özetle, en büyük zayıf aldatıcı kümenin günlük boyutu, bölüm numarasından katlanarak daha küçük olabilir. Diğer alt sınır teknikleri ile bölüm numarası arasında boşluklar olabilir, fakat eğer log-rank varsayımı tutarsa, bu boşluklar küçüktür.

Alışılmış olanı (büyüklük) genişleten boyut kavramları kullanılarak, herhangi bir tek renkli dikdörtgenin boyutu, kandırma setlerini genelleştirmek ve iletişim karmaşıklığını azaltmak için kullanılabilir (bakınız KN 1.24). Herhangi bir tek renkli dikdörtgenin genelleştirilmiş en büyük "boyutunun" iletişim karmaşıklığına ne kadar yakın olması gerektiğinden emin değilim.

$D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ $f$

$Pn(f)$

— András Salamon
kaynak

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$ . Benim yorumum, bu eşitsizliklerin ne kadar yakın olduğu, örneğin üstel boşluklardan kaçınıp kaçınmadığı ve zayıf aldatıcı set boyutunun neden normal kavramdan daha yararlı olduğu ile ilgilidir (tek renkli versiyon sıralamaya göre katlanarak daha küçük olabilir).

— András Salamon